Номер 2.250, страница 212 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.250. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

а) $y = \sqrt{2x^2 - 3x - 10}$ и $y = x;$

б) $y = \sqrt{2x^2 + 5x + 4}$ и $y = 2x + 2;$

в) $y = \sqrt{8 - 3x - x^2}$ и $y = -x - 2.$

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{2x^2 - 3x - 10}$ и $y = x$, необходимо приравнять их правые части.
$\sqrt{2x^2 - 3x - 10} = x$
Данное иррациональное уравнение равносильно системе, в которой мы возводим обе части в квадрат и добавляем условие неотрицательности правой части:
$ \begin{cases} 2x^2 - 3x - 10 = x^2 \\ x \ge 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$2x^2 - x^2 - 3x - 10 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета или через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{-(-3) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-3) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$
Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 0$:
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 0$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, поэтому является посторонним.
Таким образом, абсциссой точки пересечения является $x=5$.
Ответ: 5.

б) Приравняем правые части функций $y = \sqrt{2x^2 + 5x + 4}$ и $y = 2x + 2$:
$\sqrt{2x^2 + 5x + 4} = 2x + 2$
Составим равносильную систему:
$ \begin{cases} 2x^2 + 5x + 4 = (2x + 2)^2 \\ 2x + 2 \ge 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение:
$2x^2 + 5x + 4 = 4x^2 + 8x + 4$
$4x^2 - 2x^2 + 8x - 5x + 4 - 4 = 0$
$2x^2 + 3x = 0$
$x(2x + 3) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня:
$x_1 = 0$
$2x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{2}$
Теперь проверим выполнение условия $2x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -1$:
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \ge -1$.
Корень $x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$ не удовлетворяет условию $-1.5 \ge -1$, значит, это посторонний корень.
Следовательно, абсциссой точки пересечения является $x=0$.
Ответ: 0.

в) Приравняем правые части функций $y = \sqrt{8 - 3x - x^2}$ и $y = -x - 2$:
$\sqrt{8 - 3x - x^2} = -x - 2$
Составим равносильную систему:
$ \begin{cases} 8 - 3x - x^2 = (-x - 2)^2 \\ -x - 2 \ge 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение:
$8 - 3x - x^2 = (x + 2)^2$
$8 - 3x - x^2 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 + x^2 + 4x + 3x + 4 - 8 = 0$
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$
$x_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$
Проверим выполнение условия $-x - 2 \ge 0$, то есть $-x \ge 2$ или $x \le -2$:
Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $\frac{1}{2} \le -2$, это посторонний корень.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет условию $-4 \le -2$.
Таким образом, абсциссой точки пересечения является $x=-4$.
Ответ: -4.