Номер 2.256, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.256. Решите двумя способами уравнение $ \sqrt[10]{-x^2 - 13x - 9} = \sqrt[10]{-7x - 9} $.

Способ 1

Этот способ заключается в предварительном нахождении Области допустимых значений (ОДЗ) для переменной x, решении уравнения и последующей проверке корней на принадлежность ОДЗ.

1. Нахождение ОДЗ.

   Так как в уравнении присутствуют корни четной (10-й) степени, выражения под корнями должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

   $\begin{cases} -x^2 - 13x - 9 \ge 0 \\ -7x - 9 \ge 0 \end{cases}$

   Решим второе, более простое неравенство:

   $-7x \ge 9 \implies x \le -\frac{9}{7} \implies x \le -1\frac{2}{7}$

   Теперь решим первое неравенство:

   $-x^2 - 13x - 9 \ge 0$

   Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

   $x^2 + 13x + 9 \le 0$

   Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 13x + 9 = 0$ с помощью дискриминанта:

   $D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 169 - 36 = 133$

   $x_{1,2} = \frac{-13 \pm \sqrt{133}}{2}$

   Парабола $y=x^2 + 13x + 9$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неположительные значения между своими корнями:

   $\frac{-13 - \sqrt{133}}{2} \le x \le \frac{-13 + \sqrt{133}}{2}$

   ОДЗ является пересечением решений двух неравенств: $x \le -1\frac{2}{7}$ и $\frac{-13 - \sqrt{133}}{2} \le x \le \frac{-13 + \sqrt{133}}{2}$.

   Так как $\frac{-13 + \sqrt{133}}{2} \approx \frac{-13 + 11.53}{2} \approx -0.73$, а $-1\frac{2}{7} \approx -1.29$, то общим решением (ОДЗ) будет:

   $\frac{-13 - \sqrt{133}}{2} \le x \le -1\frac{2}{7}$

2. Решение уравнения.

   Возведем обе части исходного уравнения $\sqrt[10]{-x^2 - 13x - 9} = \sqrt[10]{-7x - 9}$ в 10-ю степень:

   $-x^2 - 13x - 9 = -7x - 9$

   $-x^2 - 13x + 7x = 0$

   $-x^2 - 6x = 0$

   $x^2 + 6x = 0$

   $x(x + 6) = 0$

   Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$.

3. Проверка корней.

   Сравним полученные корни с ОДЗ: $x \in [\frac{-13 - \sqrt{133}}{2}; -1\frac{2}{7}]$.

   • $x_1 = 0$: не принадлежит ОДЗ, так как $0 > -1\frac{2}{7}$. Это посторонний корень.
   • $x_2 = -6$: принадлежит ОДЗ, так как $\frac{-13 - \sqrt{133}}{2} \approx -12.27 < -6$ и $-6 < -1\frac{2}{7}$. Корень подходит.

Ответ: $-6$.

Способ 2

Этот способ основан на равносильном переходе от иррационального уравнения к системе, состоящей из уравнения и неравенства. Уравнение вида $\sqrt[2n]{f(x)} = \sqrt[2n]{g(x)}$ равносильно следующей системе:

$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

(Для неравенства можно выбрать любое из подкоренных выражений; обычно выбирают более простое для вычислений).

Применительно к нашему уравнению система будет выглядеть так:

$\begin{cases} -x^2 - 13x - 9 = -7x - 9 \\ -7x - 9 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение системы:

   $-x^2 - 13x - 9 = -7x - 9$

   $-x^2 - 6x = 0$

   $x^2 + 6x = 0$

   $x(x + 6) = 0$

   Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$.

2. Проверим корни по неравенству системы:

   Неравенство: $-7x - 9 \ge 0$, что равносильно $x \le -\frac{9}{7}$ или $x \le -1\frac{2}{7}$.

   • Для $x_1 = 0$: проверяем $0 \le -1\frac{2}{7}$. Это неверно. Следовательно, $x=0$ - посторонний корень.
   • Для $x_2 = -6$: проверяем $-6 \le -1\frac{2}{7}$. Это верно. Следовательно, $x=-6$ - является решением уравнения.

Ответ: $-6$.