Номер 2.258, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.258. Решите уравнение, используя свойства функций:

a) $\sqrt{2x - 3} + \sqrt{4x + 1} = 4;$

б) $\sqrt{x + 3} + \sqrt{3x - 2} = 7;$

в) $2\sqrt{x - 1} = 8 - \sqrt{x - 6};$

г) $\sqrt{13 - 4x} + \sqrt{1 - x} = 3.$

a) Для решения уравнения $\sqrt{2x-3} + \sqrt{4x+1} = 4$ используем метод анализа свойств функций.

1. ОДЗ (Область допустимых значений). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:$$ \begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ 4x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 3 \\ 4x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{3}{2} \\ x \ge -\frac{1}{4} \end{cases} $$Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \ge \frac{3}{2}$.

2. Монотонность функции. Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = \sqrt{2x-3} + \sqrt{4x+1}$.
Функция $y_1(x) = \sqrt{2x-3}$ является возрастающей на своей области определения. Функция $y_2(x) = \sqrt{4x+1}$ также является возрастающей. Сумма двух возрастающих функций есть функция строго возрастающая. Значит, $f(x)$ строго возрастает на всей ОДЗ.

3. Поиск решения. Поскольку функция $f(x)$ строго монотонна, она принимает каждое свое значение ровно один раз. Это означает, что уравнение $f(x) = 4$ имеет не более одного решения. Попробуем найти это решение подбором, проверяя значения $x$ из ОДЗ. Проверим $x=2$:$$ \sqrt{2 \cdot 2 - 3} + \sqrt{4 \cdot 2 + 1} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4 $$Равенство $4=4$ выполняется, и $x=2$ принадлежит ОДЗ. Следовательно, $x=2$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: 2

б) Рассмотрим уравнение $\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-2} = 7$.

1. ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:$$ \begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ 3x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge \frac{2}{3} \end{cases} $$Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \ge \frac{2}{3}$.

2. Монотонность функции. Функция в левой части $f(x) = \sqrt{x+3} + \sqrt{3x-2}$ является суммой двух возрастающих функций ($y_1=\sqrt{x+3}$ и $y_2=\sqrt{3x-2}$), поэтому она строго возрастает на своей ОДЗ.

3. Поиск решения. Так как функция $f(x)$ строго монотонна, уравнение $f(x)=7$ имеет не более одного решения. Найдем его подбором. Проверим $x=6$:$$ \sqrt{6+3} + \sqrt{3 \cdot 6 - 2} = \sqrt{9} + \sqrt{18-2} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 $$Равенство $7=7$ верное, и $x=6$ принадлежит ОДЗ. Значит, $x=6$ — единственный корень.

Ответ: 6

в) Преобразуем уравнение $2\sqrt{x-1} = 8 - \sqrt{x-6}$ к виду $2\sqrt{x-1} + \sqrt{x-6} = 8$.

1. ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:$$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x - 6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 6 \end{cases} $$Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \ge 6$.

2. Монотонность функции. Функция в левой части $f(x) = 2\sqrt{x-1} + \sqrt{x-6}$ является суммой двух возрастающих функций ($y_1=2\sqrt{x-1}$ и $y_2=\sqrt{x-6}$), поэтому она строго возрастает на ОДЗ.

3. Поиск решения. В силу строгой монотонности функции $f(x)$, уравнение $f(x)=8$ может иметь не более одного корня. Найдем его подбором. Проверим $x=10$:$$ 2\sqrt{10-1} + \sqrt{10-6} = 2\sqrt{9} + \sqrt{4} = 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8 $$Равенство $8=8$ верное, и $x=10$ принадлежит ОДЗ. Следовательно, $x=10$ — единственный корень.

Ответ: 10

г) Рассмотрим уравнение $\sqrt{13-4x} + \sqrt{1-x} = 3$.

1. ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:$$ \begin{cases} 13 - 4x \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x \le 13 \\ x \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \frac{13}{4} \\ x \le 1 \end{cases} $$Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \le 1$.

2. Монотонность функции. Рассмотрим функцию в левой части $f(x) = \sqrt{13-4x} + \sqrt{1-x}$.
Аргументы подкоренных выражений ($13-4x$ и $1-x$) являются убывающими функциями. Так как функция $y=\sqrt{t}$ возрастающая, композиции $y_1=\sqrt{13-4x}$ и $y_2=\sqrt{1-x}$ являются убывающими функциями. Сумма двух убывающих функций есть функция строго убывающая. Значит, $f(x)$ строго убывает на ОДЗ.

3. Поиск решения. Так как функция $f(x)$ строго убывает, уравнение $f(x)=3$ имеет не более одного решения. Найдем его подбором. Проверим $x=1$:$$ \sqrt{13-4 \cdot 1} + \sqrt{1-1} = \sqrt{9} + \sqrt{0} = 3 + 0 = 3 $$Равенство $3=3$ верное, и $x=1$ принадлежит ОДЗ. Таким образом, $x=1$ является единственным решением.

Ответ: 1