Номер 2.251, страница 212 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.251. Решите уравнение:

a) $\sqrt[3]{x^3 - x^2 + 4} = x;$

б) $\sqrt[5]{2 - 7x - x^5} = -x;$

в) $\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 5x + 4} = x.$

а) $\sqrt[3]{x^3 - x^2 + 4} = x$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо возвести обе его части в третью степень. Поскольку степень нечетная, это преобразование является равносильным и не приводит к появлению посторонних корней.

$(\sqrt[3]{x^3 - x^2 + 4})^3 = x^3$

В левой части корень и степень взаимно уничтожаются:

$x^3 - x^2 + 4 = x^3$

Теперь перенесем все члены в одну сторону. Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:

$-x^2 + 4 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$x^2 - 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, которое можно решить, перенеся 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

Извлекая квадратный корень, получаем два решения:

$x_1 = \sqrt{4} = 2$

$x_2 = -\sqrt{4} = -2$

Ответ: -2; 2.

б) $\sqrt[5]{2 - 7x - x^5} = -x$

Возведем обе части уравнения в пятую степень. Так как степень нечетная, данное преобразование является равносильным.

$(\sqrt[5]{2 - 7x - x^5})^5 = (-x)^5$

$2 - 7x - x^5 = -x^5$

Прибавим $x^5$ к обеим частям уравнения:

$2 - 7x - x^5 + x^5 = -x^5 + x^5$

$2 - 7x = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-7x = -2$

$7x = 2$

$x = \frac{2}{7}$

Полученная дробь является правильной, поэтому выделение целой части не требуется.

Ответ: $\frac{2}{7}$.

в) $\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 5x + 4} = x$

Возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от знака радикала:

$(\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 5x + 4})^3 = x^3$

$x^3 + x^2 - 5x + 4 = x^3$

Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Также можно было воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и 4.

Ответ: 1; 4.