Номер 2.247, страница 212 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.247. Решите уравнение:

а) $0,5\sqrt{16 - \sqrt{x+1}} = 2;$

б) $\frac{\sqrt{2-x}+9}{3} = 1;$

в) $\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2+7}} = 3;$

г) $\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2+3}} - 3 = 0.$

а) Исходное уравнение: $0,5\sqrt{16 - \sqrt{x+1}} = 2$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от коэффициента 0,5:
$\sqrt{16 - \sqrt{x+1}} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:
$(\sqrt{16 - \sqrt{x+1}})^2 = 4^2$
$16 - \sqrt{x+1} = 16$

Вычтем 16 из обеих частей:
$-\sqrt{x+1} = 0$
$\sqrt{x+1} = 0$

Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+1})^2 = 0^2$
$x+1 = 0$
$x = -1$

Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:
1) $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$
2) $16 - \sqrt{x+1} \ge 0 \Rightarrow 16 \ge \sqrt{x+1} \Rightarrow 256 \ge x+1 \Rightarrow x \le 255$
Корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ.
Подстановка в исходное уравнение:
$0,5\sqrt{16 - \sqrt{-1+1}} = 0,5\sqrt{16 - \sqrt{0}} = 0,5\sqrt{16} = 0,5 \cdot 4 = 2$.
$2 = 2$. Корень найден верно.

Ответ: -1

б) Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{\sqrt{2-x} + 9}}{3} = 1$.

Умножим обе части уравнения на 3:
$\sqrt{\sqrt{2-x} + 9} = 3$

Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{\sqrt{2-x} + 9})^2 = 3^2$
$\sqrt{2-x} + 9 = 9$

Вычтем 9 из обеих частей:
$\sqrt{2-x} = 0$

Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2-x})^2 = 0^2$
$2-x = 0$
$x = 2$

Проверим найденный корень.
ОДЗ:
1) $2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$
2) $\sqrt{2-x} + 9 \ge 0$. Это выражение всегда неотрицательно, так как $\sqrt{2-x} \ge 0$.
Корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ.
Подстановка в исходное уравнение:
$\frac{\sqrt{\sqrt{2-2} + 9}}{3} = \frac{\sqrt{\sqrt{0} + 9}}{3} = \frac{\sqrt{9}}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
$1 = 1$. Корень найден верно.

Ответ: 2

в) Исходное уравнение: $\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2+7}} = 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2+7}})^2 = 3^2$
$7 + \sqrt[3]{x^2+7} = 9$

Вычтем 7 из обеих частей:
$\sqrt[3]{x^2+7} = 2$

Возведем обе части в куб:
$(\sqrt[3]{x^2+7})^3 = 2^3$
$x^2+7 = 8$

Вычтем 7 из обеих частей:
$x^2 = 1$

Отсюда находим два корня:
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Проверим найденные корни.
ОДЗ: $7 + \sqrt[3]{x^2+7} \ge 0$.
Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+7 \ge 7$, и $\sqrt[3]{x^2+7} \ge \sqrt[3]{7} > 0$.
Следовательно, подкоренное выражение $7 + \sqrt[3]{x^2+7}$ всегда положительно. Ограничений на $x$ нет.
Подстановка $x=\pm1$ в исходное уравнение:
$\sqrt{7 + \sqrt[3]{(\pm1)^2+7}} = \sqrt{7 + \sqrt[3]{1+7}} = \sqrt{7 + \sqrt[3]{8}} = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$.
$3 = 3$. Оба корня верны.

Ответ: -1; 1

г) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2+3}} - 3 = 0$.

Перенесем 3 в правую часть:
$\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2+3}} = 3$

Возведем обе части в куб:
$(\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2+3}})^3 = 3^3$
$25 + \sqrt{x^2+3} = 27$

Вычтем 25 из обеих частей:
$\sqrt{x^2+3} = 2$

Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x^2+3})^2 = 2^2$
$x^2+3 = 4$

Вычтем 3 из обеих частей:
$x^2 = 1$

Отсюда находим два корня:
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Проверим найденные корни.
ОДЗ: $x^2+3 \ge 0$. Это выражение всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$. Кубический корень определен для любых действительных чисел. Ограничений на $x$ нет.
Подстановка $x=\pm1$ в исходное уравнение:
$\sqrt[3]{25 + \sqrt{(\pm1)^2+3}} - 3 = \sqrt[3]{25 + \sqrt{1+3}} - 3 = \sqrt[3]{25 + \sqrt{4}} - 3 = \sqrt[3]{25+2} - 3 = \sqrt[3]{27} - 3 = 3-3 = 0$.
$0 = 0$. Оба корня верны.

Ответ: -1; 1