вопрос 1, страница 211 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Какие из уравнений не имеют корней:

а) $\sqrt{2 - x} = -3;$

б) $\sqrt[3]{2 - x} = -3;$

В) $\sqrt[6]{2 - x} = -\sqrt{x};$

Г) $\sqrt{2 + x} = -\sqrt[7]{x}?$

а) Уравнение: $ \sqrt{2-x} = -3 $.
По определению, арифметический квадратный корень (корень четной степени) $ \sqrt{A} $ всегда является неотрицательным числом, то есть $ \sqrt{2-x} \ge 0 $. Правая часть уравнения равна -3.
Поскольку неотрицательное значение не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: уравнение не имеет корней.

б) Уравнение: $ \sqrt[3]{2-x} = -3 $.
Корень нечетной степени (кубический корень) может быть отрицательным. Для решения возведем обе части уравнения в третью степень:
$ (\sqrt[3]{2-x})^3 = (-3)^3 $
$ 2 - x = -27 $
$ -x = -27 - 2 $
$ -x = -29 $
$ x = 29 $
Проверка: $ \sqrt[3]{2 - 29} = \sqrt[3]{-27} = -3 $. Равенство выполняется.
Ответ: уравнение имеет корень $x=29$.

в) Уравнение: $ \sqrt[6]{2-x} = -\sqrt{x} $.
Рассмотрим области значений левой и правой частей. Левая часть $ \sqrt[6]{2-x} $ — это корень четной степени, его значение всегда неотрицательно: $ \sqrt[6]{2-x} \ge 0 $. Правая часть $ -\sqrt{x} $ — это число, противоположное арифметическому квадратному корню, его значение всегда неположительно: $ -\sqrt{x} \le 0 $.
Равенство вида $ A = B $, где $ A \ge 0 $ и $ B \le 0 $, возможно только в одном случае: если $ A = 0 $ и $ B = 0 $ одновременно.
1) Приравняем левую часть к нулю: $ \sqrt[6]{2-x} = 0 \implies 2-x = 0 \implies x = 2 $.
2) Приравняем правую часть к нулю: $ -\sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x} = 0 \implies x = 0 $.
Поскольку для выполнения условия равенства нулю требуются разные значения $x$ ($x=2$ для левой части и $x=0$ для правой), не существует такого значения $x$, при котором обе части одновременно обращаются в ноль. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: уравнение не имеет корней.

г) Уравнение: $ \sqrt[7]{2+x} = -\sqrt[7]{x} $.
Корень нечетной степени (в данном случае, седьмой) может быть как положительным, так и отрицательным. Для решения возведем обе части уравнения в седьмую степень:
$ (\sqrt[7]{2+x})^7 = (-\sqrt[7]{x})^7 $
$ 2 + x = -x $
$ 2x = -2 $
$ x = -1 $
Проверка: подставим $x=-1$ в исходное уравнение.
Левая часть: $ \sqrt[7]{2 + (-1)} = \sqrt[7]{1} = 1 $.
Правая часть: $ -\sqrt[7]{-1} = -(-1) = 1 $.
Так как $1=1$, равенство выполняется.
Ответ: уравнение имеет корень $x=-1$.

Итоговый ответ на вопрос "Какие из уравнений не имеют корней": уравнения а) и в).