вопрос 2, страница 211 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Выберите систему, равносильную уравнению вида $\sqrt[2n]{f(x)} = g(x)$:

а) $\begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \ge 0; \end{cases}$

В) $\begin{cases} f(x) = (g(x))^{2n}, \\ f(x) \ge 0; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} f(x) = (g(x))^{2n}, \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$

Для того чтобы найти систему, равносильную уравнению $\sqrt[2n]{f(x)} = g(x)$, необходимо выполнить равносильные преобразования, сохранив область допустимых значений (ОДЗ).

Шаг 1: Анализ ОДЗ исходного уравнения.

Уравнение содержит корень четной степени ($2n$). Это накладывает два ограничения:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$.
2. Результат извлечения арифметического корня четной степени по определению также неотрицателен, поэтому правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $g(x) \ge 0$.

Следовательно, любое решение уравнения должно удовлетворять системе $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$.

Шаг 2: Избавление от иррациональности.

При условии, что обе части уравнения неотрицательны (что учтено в ОДЗ), можно возвести обе части в степень $2n$:

$(\sqrt[2n]{f(x)})^{2n} = (g(x))^{2n}$

$f(x) = (g(x))^{2n}$

Шаг 3: Составление равносильной системы.

Равносильная система должна включать полученное уравнение и необходимые условия из ОДЗ, чтобы избежать потери корней или приобретения посторонних. Объединим полученное уравнение с условиями ОДЗ:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^{2n} \\ f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

Проанализируем эту систему. Из уравнения $f(x) = (g(x))^{2n}$ автоматически следует, что $f(x) \ge 0$, так как любое выражение в четной степени ($2n$) всегда неотрицательно. Поэтому условие $f(x) \ge 0$ является избыточным, и его можно опустить.

Условие $g(x) \ge 0$ является обязательным. Если его убрать, то при возведении в четную степень могут появиться посторонние корни (в случаях, когда изначально $g(x)$ было отрицательным).

Таким образом, итоговая равносильная система имеет вид: $\begin{cases} f(x) = (g(x))^{2n} \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$.

Теперь сравним этот результат с предложенными вариантами:

а) $\begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) \ge 0; \end{cases}$ Ответ: Неверно. Возведение в степень выполнено неверно (должна быть степень $2n$).

б) $\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \ge 0; \end{cases}$ Ответ: Неверно. Возведение в степень выполнено неверно, и условие наложено не на ту функцию ($g(x)$).

в) $\begin{cases} f(x) = (g(x))^{2n}, \\ f(x) \ge 0; \end{cases}$ Ответ: Неверно. Условие $f(x) \ge 0$ является избыточным (следствие уравнения) и не заменяет необходимого условия $g(x) \ge 0$.

г) $\begin{cases} f(x) = (g(x))^{2n}, \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$ Ответ: Верно. Эта система в точности соответствует выводу, полученному при равносильных преобразованиях.