Номер 2.246, страница 212 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.246. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

a) $y = \sqrt[4]{2x+7}$ и $y=4$;

б) $y = \sqrt[3]{x^2-15x+6}$ и $y=-2$.

а) Для нахождения абсциссы точки пересечения графиков функций $y = \sqrt[4]{2x + 7}$ и $y = 4$, необходимо приравнять правые части выражений для $y$:

$\sqrt[4]{2x + 7} = 4$

Так как корень в уравнении четной степени (четвертой), необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$2x + 7 \geq 0$

$2x \geq -7$

$x \geq -\frac{7}{2}$ или $x \geq -3.5$

Теперь решим уравнение, возведя обе его части в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{2x + 7})^4 = 4^4$

$2x + 7 = 256$

Перенесем 7 в правую часть:

$2x = 256 - 7$

$2x = 249$

$x = \frac{249}{2}$

Найденный корень $x = \frac{249}{2} = 124.5$ удовлетворяет условию ОДЗ ($124.5 \geq -3.5$), следовательно, он является решением.

Выделим целую часть из полученной неправильной дроби:

$\frac{249}{2} = 124\frac{1}{2}$

Ответ: $124\frac{1}{2}$.

б) Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[3]{x^2 - 15x + 6}$ и $y = -2$, приравняем их правые части:

$\sqrt[3]{x^2 - 15x + 6} = -2$

Поскольку корень нечетной степени (третьей), подкоренное выражение может принимать любые значения, поэтому область допустимых значений для $x$ — все действительные числа.

Возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от радикала:

$(\sqrt[3]{x^2 - 15x + 6})^3 = (-2)^3$

$x^2 - 15x + 6 = -8$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 15x + 6 + 8 = 0$

$x^2 - 15x + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-15) = 15$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 14$

Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 14$.

Проверка: $1+14=15$ и $1 \cdot 14=14$. Корни найдены верно.

Ответ: 1; 14.