Номер 2.242, страница 204 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.242. Выберите пару равносильных уравнений:

а) $x^2 = x$ и $x - 1 = 0$;

б) $x + 1 = 1$ и $(x + 1)^2 = 1$;

В) $x^2 + 1 = 0$ и $2x - 3 = 2x + 5$.

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые множества решений (корней). Чтобы найти пару равносильных уравнений, необходимо найти корни каждого уравнения в предложенных парах и сравнить множества решений.

1. Решим первое уравнение $x^2 = x$:

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$.

Таким образом, множество решений первого уравнения: $\{0, 1\}$.

2. Решим второе уравнение $x - 1 = 0$:

$x = 1$.

Множество решений второго уравнения: $\{1\}$.

3. Сравнение множеств решений:

Множество решений первого уравнения $\{0, 1\}$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\{1\}$.

Ответ: Уравнения не являются равносильными.

1. Решим первое уравнение $x + 1 = 1$:

$x = 1 - 1$

$x = 0$.

Множество решений первого уравнения: $\{0\}$.

2. Решим второе уравнение $(x + 1)^2 = 1$:

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

$x + 1 = 1$ или $x + 1 = -1$

В первом случае: $x = 1 - 1 \implies x_1 = 0$.

Во втором случае: $x = -1 - 1 \implies x_2 = -2$.

Таким образом, множество решений второго уравнения: $\{-2, 0\}$.

3. Сравнение множеств решений:

Множество решений первого уравнения $\{0\}$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\{-2, 0\}$.

Ответ: Уравнения не являются равносильными.

1. Решим первое уравнение $x^2 + 1 = 0$:

$x^2 = -1$.

В множестве действительных чисел это уравнение не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).

Следовательно, множество решений первого уравнения является пустым множеством ($\emptyset$).

2. Решим второе уравнение $2x - 3 = 2x + 5$:

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$2x - 2x = 5 + 3$

$0 \cdot x = 8$

$0 = 8$.

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что данное уравнение не имеет решений.

Следовательно, множество решений второго уравнения также является пустым множеством ($\emptyset$).

3. Сравнение множеств решений:

Множества решений обоих уравнений совпадают (оба являются пустыми).

Ответ: Уравнения являются равносильными.

Итоговый вывод: Пара равносильных уравнений представлена в пункте в).