Номер 2.235, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.235. Определите, пересекаются ли график функции $y = \sqrt[8]{x}$ и прямая:

а) $y = 1$;

б) $y = \frac{1}{2}$;

в) $y = -7$;

г) $y = \sqrt[8]{13}$.

Если да, то найдите координаты точки пересечения.

Для того чтобы определить, пересекаются ли график функции $y = \sqrt[8]{x}$ и заданная прямая, необходимо решить систему уравнений, подставив значение $y$ из уравнения прямой в уравнение функции. Следует помнить, что область определения функции $y = \sqrt[8]{x}$ это $x \ge 0$, а область значений — $y \ge 0$, так как корень имеет четный показатель.

а) Рассмотрим пересечение с прямой $y = 1$.
Подставим $y=1$ в уравнение функции:

$1 = \sqrt[8]{x}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в восьмую степень:

$1^8 = (\sqrt[8]{x})^8$

$x = 1$

Так как $x=1$ и $y=1$ удовлетворяют областям определения и значений, графики пересекаются. Координаты точки пересечения: $(1; 1)$.
Ответ: пересекаются в точке $(1; 1)$.

б) Рассмотрим пересечение с прямой $y = \frac{1}{2}$.
Подставим $y=\frac{1}{2}$ в уравнение функции:

$\frac{1}{2} = \sqrt[8]{x}$

Возведем обе части уравнения в восьмую степень:

$(\frac{1}{2})^8 = (\sqrt[8]{x})^8$

$x = \frac{1}{256}$

Графики пересекаются в точке с координатами $(\frac{1}{256}; \frac{1}{2})$.
Ответ: пересекаются в точке $(\frac{1}{256}; \frac{1}{2})$.

в) Рассмотрим пересечение с прямой $y = -7$.
Подставим $y=-7$ в уравнение функции:

$-7 = \sqrt[8]{x}$

По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае восьмой) не может быть отрицательным числом, то есть $\sqrt[8]{x} \ge 0$. Так как правая часть уравнения неотрицательна, а левая отрицательна, уравнение не имеет решений. Следовательно, графики не пересекаются.
Ответ: не пересекаются.

г) Рассмотрим пересечение с прямой $y = \sqrt[8]{13}$.
Подставим $y=\sqrt[8]{13}$ в уравнение функции:

$\sqrt[8]{13} = \sqrt[8]{x}$

Поскольку в обеих частях уравнения стоят корни одной и той же степени, равенство возможно только при равенстве подкоренных выражений:

$x = 13$

Графики пересекаются в точке с координатами $(13; \sqrt[8]{13})$.
Ответ: пересекаются в точке $(13; \sqrt[8]{13})$.