Номер 2.230, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.230. Сравните числа:

а) $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$;

б) $\sqrt[12]{12}$ и $\sqrt[8]{5}$;

в) $\sqrt{3}$ и $\sqrt[5]{247}$;

г) $\sqrt[10]{7}$ и $\sqrt[5]{2\sqrt{2}}$.

Для сравнения чисел с разными показателями корня, необходимо привести их к общему (наименьшему) показателю. Общий показатель корня является наименьшим общим кратным (НОК) исходных показателей. После приведения к общему показателю, сравниваются подкоренные выражения, так как функция $y = \sqrt[n]{x}$ является возрастающей для $x > 0$.

а) Сравним числа $ \sqrt{2} $ и $ \sqrt[3]{3} $.
Показатели корней равны 2 и 3. Наименьшее общее кратное для них $ \text{НОК}(2, 3) = 6 $. Приведем оба корня к показателю 6: $$ \sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8} $$ $$ \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9} $$ Теперь сравним подкоренные выражения: $ 8 < 9 $.
Следовательно, $ \sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9} $, а значит $ \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} $.
Ответ: $ \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} $.

б) Сравним числа $ \sqrt[12]{12} $ и $ \sqrt[8]{5} $.
Показатели корней равны 12 и 8. Наименьшее общее кратное для них $ \text{НОК}(12, 8) = 24 $. Приведем оба корня к показателю 24: $$ \sqrt[12]{12} = \sqrt[12 \cdot 2]{12^2} = \sqrt[24]{144} $$ $$ \sqrt[8]{5} = \sqrt[8 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[24]{125} $$ Сравним подкоренные выражения: $ 144 > 125 $.
Следовательно, $ \sqrt[24]{144} > \sqrt[24]{125} $, а значит $ \sqrt[12]{12} > \sqrt[8]{5} $.
Ответ: $ \sqrt[12]{12} > \sqrt[8]{5} $.

в) Сравним числа $ \sqrt{3} $ и $ \sqrt[5]{\sqrt{247}} $.
Сначала упростим второе выражение, используя свойство $ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} $: $$ \sqrt[5]{\sqrt{247}} = \sqrt[5 \cdot 2]{247} = \sqrt[10]{247} $$ Теперь задача сводится к сравнению $ \sqrt{3} $ и $ \sqrt[10]{247} $. Общий показатель корня — 10. Приведем $ \sqrt{3} $ к этому показателю: $$ \sqrt{3} = \sqrt[2 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[10]{243} $$ Сравним подкоренные выражения чисел $ \sqrt[10]{243} $ и $ \sqrt[10]{247} $: $ 243 < 247 $.
Следовательно, $ \sqrt[10]{243} < \sqrt[10]{247} $, а значит $ \sqrt{3} < \sqrt[5]{\sqrt{247}} $.
Ответ: $ \sqrt{3} < \sqrt[5]{\sqrt{247}} $.

г) Сравним числа $ \sqrt[10]{7} $ и $ \sqrt[5]{2\sqrt{2}} $.
Сначала упростим второе выражение. Внесем множитель 2 под знак внутреннего корня: $$ 2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8} $$ Тогда второе выражение становится $ \sqrt[5]{\sqrt{8}} $. Упростим его: $$ \sqrt[5]{\sqrt{8}} = \sqrt[5 \cdot 2]{8} = \sqrt[10]{8} $$ Теперь сравним $ \sqrt[10]{7} $ и $ \sqrt[10]{8} $.
Поскольку показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $ 7 < 8 $.
Следовательно, $ \sqrt[10]{7} < \sqrt[10]{8} $, а значит $ \sqrt[10]{7} < \sqrt[5]{2\sqrt{2}} $.
Ответ: $ \sqrt[10]{7} < \sqrt[5]{2\sqrt{2}} $.