Номер 2.223, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.223. Найдите множество значений функции:

а) $y = \sqrt[6]{x} + 7;$

б) $y = -\sqrt[4]{x} + 3;$

в) $y = \sqrt[3]{x} + 2;$

г) $y = 3\sqrt[8]{x} - 6.$

Существует ли наименьшее значение этой функции?

Для нахождения множества значений функции $y = a\sqrt[n]{x} + b$ проанализируем свойства корня n-ой степени.

• Если показатель корня $n$ — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), и значение корня также неотрицательно ($\sqrt[n]{x} \ge 0$).
• Если показатель корня $n$ — нечетное число, то $x$ может быть любым действительным числом, и значение корня также может быть любым действительным числом.

а) $y = \sqrt[6]{x} + 7$

Показатель корня $n=6$ является четным числом. Это означает, что область определения функции $x \ge 0$. При этом значение выражения $\sqrt[6]{x}$ всегда неотрицательно, то есть $\sqrt[6]{x} \ge 0$. Чтобы найти множество значений функции $y$, мы берем множество значений $\sqrt[6]{x}$ и прибавляем к нему 7.
Если $\sqrt[6]{x} \ge 0$, то $\sqrt[6]{x} + 7 \ge 0 + 7$, следовательно, $y \ge 7$.
Таким образом, множество значений функции — это все числа, большие или равные 7.
Наименьшее значение функция принимает, когда $\sqrt[6]{x}$ принимает свое наименьшее значение, то есть 0 (при $x=0$). В этом случае $y_{min} = 0 + 7 = 7$.

Ответ: Множество значений $E(y) = [7, +\infty)$. Наименьшее значение функции существует и равно 7.

б) $y = -\sqrt[4]{x} + 3$

Показатель корня $n=4$ — четное число. Область определения $x \ge 0$.
Значение $\sqrt[4]{x} \ge 0$.
Умножим это неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-\sqrt[4]{x} \le 0$.
Теперь прибавим 3 к обеим частям: $-\sqrt[4]{x} + 3 \le 0 + 3$, следовательно, $y \le 3$.
Таким образом, множество значений функции — это все числа, меньшие или равные 3.
Функция ограничена сверху числом 3, но не ограничена снизу. Следовательно, у функции нет наименьшего значения.

Ответ: Множество значений $E(y) = (-\infty, 3]$. Наименьшего значения функции не существует.

в) $y = \sqrt[3]{x} + 2$

Показатель корня $n=3$ — нечетное число. Это означает, что $x$ может быть любым действительным числом ($x \in \mathbb{R}$).
Соответственно, выражение $\sqrt[3]{x}$ также может принимать любые действительные значения, то есть его множество значений — $(-\infty, +\infty)$.
Прибавление константы 2 к множеству всех действительных чисел не изменяет его. Множество значений функции $y = \sqrt[3]{x} + 2$ также является множеством всех действительных чисел.
Так как функция не ограничена ни снизу, ни сверху, у нее нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: Множество значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$. Наименьшего значения функции не существует.

г) $y = 3\sqrt[8]{x} - 6$

Показатель корня $n=8$ — четное число. Область определения $x \ge 0$.
Значение $\sqrt[8]{x} \ge 0$.
Умножим на положительное число 3: $3\sqrt[8]{x} \ge 0$.
Теперь вычтем 6 из обеих частей: $3\sqrt[8]{x} - 6 \ge 0 - 6$, следовательно, $y \ge -6$.
Таким образом, множество значений функции — это все числа, большие или равные -6.
Функция ограничена снизу, поэтому наименьшее значение существует. Оно достигается при $x=0$. $y_{min} = 3\sqrt[8]{0} - 6 = 3 \cdot 0 - 6 = -6$.

Ответ: Множество значений $E(y) = [-6, +\infty)$. Наименьшее значение функции существует и равно -6.