Номер 2.227, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.227. Пользуясь свойством монотонности функции $f(x) = \sqrt[n]{x}$, сравните числа:

a) $\sqrt[5]{1,8}$ и $\sqrt[5]{1,6}$;

б) $\sqrt[3]{-19}$ и $\sqrt[3]{-23}$;

в) $2$ и $\sqrt[3]{7}$;

г) $\sqrt[4]{15}$ и $2$;

д) $\sqrt[3]{28}$ и $3$;

е) $\sqrt[15]{31}$ и $\sqrt[3]{2}$.

Для решения задачи используется свойство монотонности функции $f(x) = \sqrt[n]{x}$. Данная функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $\sqrt[n]{x_1} < \sqrt[n]{x_2}$. Следовательно, для сравнения корней с одинаковым показателем достаточно сравнить их подкоренные выражения.

а) Сравним числа $\sqrt[5]{1,8}$ и $\sqrt[5]{1,6}$.
Функция $y=\sqrt[5]{x}$ является возрастающей, так как показатель корня $n=5$ — нечетное число. Сравним подкоренные выражения: $1,8 > 1,6$.
Так как большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня, то $\sqrt[5]{1,8} > \sqrt[5]{1,6}$.
Ответ: $\sqrt[5]{1,8} > \sqrt[5]{1,6}$.

б) Сравним числа $\sqrt[3]{-19}$ и $\sqrt[3]{-23}$.
Функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей, так как показатель корня $n=3$ — нечетное число. Сравним подкоренные выражения: $-19 > -23$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-19} > \sqrt[3]{-23}$.
Ответ: $\sqrt[3]{-19} > \sqrt[3]{-23}$.

в) Сравним числа $2$ и $\sqrt[3]{7}$.
Чтобы сравнить числа, представим $2$ в виде корня третьей степени: $2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$.
Теперь сравним $\sqrt[3]{8}$ и $\sqrt[3]{7}$. Так как функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастающая и $8 > 7$, то $\sqrt[3]{8} > \sqrt[3]{7}$.
Следовательно, $2 > \sqrt[3]{7}$.
Ответ: $2 > \sqrt[3]{7}$.

г) Сравним числа $\sqrt[4]{15}$ и $2$.
Представим число $2$ в виде корня четвертой степени: $2 = \sqrt[4]{2^4} = \sqrt[4]{16}$.
Теперь сравним $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt[4]{16}$. Функция $y=\sqrt[4]{x}$ является возрастающей на своей области определения $[0, \infty)$. Сравним подкоренные выражения: $15 < 16$.
Следовательно, $\sqrt[4]{15} < \sqrt[4]{16}$, а значит $\sqrt[4]{15} < 2$.
Ответ: $\sqrt[4]{15} < 2$.

д) Сравним числа $\sqrt[3]{28}$ и $3$.
Представим число $3$ в виде корня третьей степени: $3 = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{27}$.
Сравним $\sqrt[3]{28}$ и $\sqrt[3]{27}$. Так как функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастающая и $28 > 27$, то $\sqrt[3]{28} > \sqrt[3]{27}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{28} > 3$.
Ответ: $\sqrt[3]{28} > 3$.

е) Сравним числа $\sqrt[15]{31}$ и $\sqrt[3]{2}$.
Для сравнения приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей $15$ и $3$ равно $15$. Первое число уже имеет показатель $15$: $\sqrt[15]{31}$. Второе число $\sqrt[3]{2}$ представим в виде корня с показателем $15$: $\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$.
Теперь сравним $\sqrt[15]{31}$ и $\sqrt[15]{32}$. Функция $y=\sqrt[15]{x}$ является возрастающей. Сравним подкоренные выражения: $31 < 32$.
Следовательно, $\sqrt[15]{31} < \sqrt[15]{32}$, а значит $\sqrt[15]{31} < \sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[15]{31} < \sqrt[3]{2}$.