Номер 2.233, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.233. Постройте график функции:

а) $g(x) = \sqrt[4]{x-3}$;

б) $g(x) = \sqrt[4]{x-1}$;

в) $g(x) = \sqrt[4]{x+2} + 4.$

Для построения графиков данных функций используется метод преобразования графика базовой функции $y=\sqrt[4]{x}$.

График функции $y=\sqrt[4]{x}$ представляет собой ветвь, выходящую из начала координат (0, 0) и проходящую через точки (1, 1) и (16, 2). Область определения функции: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 0$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y=\sqrt[4]{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) вправо вдоль оси абсцисс (Ox) на 3 единицы.

• Область определения: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$. $D(g) = [3; +\infty)$.
• Область значений: $E(g) = [0; +\infty)$.
• Ключевые точки: Сдвигаем опорные точки графика $y=\sqrt[4]{x}$ на 3 единицы вправо:
  • Начальная точка: $(0,0) \rightarrow (0+3, 0) = (3,0)$.
  • Другие точки: $(1,1) \rightarrow (1+3, 1) = (4,1)$; $(16,2) \rightarrow (16+3, 2) = (19,2)$.

Таким образом, график функции $g(x)=\sqrt[4]{x-3}$ начинается в точке (3, 0) и является ветвью, идущей вправо и вверх.

Ответ: График функции $g(x) = \sqrt[4]{x-3}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[4]{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Начальная точка графика находится в точке (3, 0).

График этой функции получается из графика базовой функции $y=\sqrt[4]{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) вниз вдоль оси ординат (Oy) на 1 единицу.

• Область определения: $x \ge 0$. $D(g) = [0; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt[4]{x} \ge 0$, то $g(x) \ge -1$. $E(g) = [-1; +\infty)$.
• Ключевые точки: Сдвигаем опорные точки графика $y=\sqrt[4]{x}$ на 1 единицу вниз:
  • Начальная точка: $(0,0) \rightarrow (0, 0-1) = (0,-1)$.
  • Другие точки: $(1,1) \rightarrow (1, 1-1) = (1,0)$; $(16,2) \rightarrow (16, 2-1) = (16,1)$.

Таким образом, график функции $g(x)=\sqrt[4]{x} - 1$ начинается в точке (0, -1) и является ветвью, идущей вправо и вверх.

Ответ: График функции $g(x) = \sqrt[4]{x} - 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[4]{x}$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Начальная точка графика находится в точке (0, -1).

График этой функции получается из графика базовой функции $y=\sqrt[4]{x}$ путем двух сдвигов:

1. На 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox), так как аргумент имеет вид $x+2$.
2. На 4 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy), так как к корню прибавляется 4.

Это равносильно параллельному переносу на вектор $(-2; 4)$.

• Область определения: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. $D(g) = [-2; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt[4]{x+2} \ge 0$, то $g(x) \ge 4$. $E(g) = [4; +\infty)$.
• Ключевые точки: Сдвигаем опорные точки графика $y=\sqrt[4]{x}$ на 2 влево и на 4 вверх:
  • Начальная точка: $(0,0) \rightarrow (0-2, 0+4) = (-2,4)$.
  • Другие точки: $(1,1) \rightarrow (1-2, 1+4) = (-1,5)$; $(16,2) \rightarrow (16-2, 2+4) = (14,6)$.

Таким образом, график функции $g(x)=\sqrt[4]{x+2} + 4$ начинается в точке (-2, 4) и является ветвью, идущей вправо и вверх.

Ответ: График функции $g(x) = \sqrt[4]{x+2} + 4$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[4]{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 4 единицы вверх вдоль оси ординат. Начальная точка графика находится в точке (-2, 4).