Номер 2.232, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.232. Определите, какие из данных функций являются четными, а какие нечетными:

а) $f(x) = \sqrt[8]{x}$;

б) $f(x) = \sqrt[3]{x}$;

в) $f(x) = \sqrt[4]{|x| - 9}$;

г) $f(x) = \sqrt[7]{|x| + 13}$.

Каким свойством обладает график четной функции?

Для определения четности или нечетности функции необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств для всех $x$ из области определения:
   • $f(-x) = f(x)$ — функция четная.
   • $f(-x) = -f(x)$ — функция нечетная.

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, функция называется функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

а) $f(x) = \sqrt[8]{x}$

1. Найдем область определения $D(f)$. Так как корень четной степени (8-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.

2. Проверим симметричность области определения. Область определения $[0, +\infty)$ не является симметричной относительно нуля, так как, например, число $4$ принадлежит области определения, а противоположное ему число $-4$ не принадлежит.

Поскольку первое условие (симметричность области определения) не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

б) $f(x) = \sqrt[3]{x}$

1. Найдем область определения $D(f)$. Корень нечетной степени (3-й) определен для любого действительного числа. Таким образом, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область определения $(-\infty, +\infty)$ симметрична относительно нуля.

3. Проверим выполнение равенства. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$

Сравним с $-f(x)$:

$-f(x) = -(\sqrt[3]{x}) = -\sqrt[3]{x}$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

в) $f(x) = \sqrt[4]{|x| - 9}$

1. Найдем область определения $D(f)$. Так как корень четной степени (4-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $|x| - 9 \ge 0$, что равносильно $|x| \ge 9$. Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -9] \cup [9, +\infty)$.

2. Область определения $D(f) = (-\infty, -9] \cup [9, +\infty)$ симметрична относительно нуля (если $x$ удовлетворяет условию $|x| \ge 9$, то и $-x$ удовлетворяет ему, так как $|-x| = |x| \ge 9$).

3. Проверим выполнение равенства. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[4]{|-x| - 9}$

Поскольку $|-x| = |x|$, получаем:

$f(-x) = \sqrt[4]{|x| - 9} = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

г) $f(x) = \sqrt[7]{|x| + 13}$

1. Найдем область определения $D(f)$. Корень нечетной степени (7-й) определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Выражение $|x| + 13$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область определения $(-\infty, +\infty)$ симметрична относительно нуля.

3. Проверим выполнение равенства. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[7]{|-x| + 13}$

Поскольку $|-x| = |x|$, получаем:

$f(-x) = \sqrt[7]{|x| + 13} = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

Каким свойством обладает график четной функции?

Ответ: График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).