Номер 2.255, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.255. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

а) $y = \sqrt{6x^2 - 3x - 1}$ и $y = \sqrt{2x - 1}$;

б) $y = \sqrt{6x^2 + 2x - 10}$ и $y = \sqrt{x^2 - x - 2}$.

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{6x^2 - 3x - 1}$ и $y = \sqrt{2x - 1}$, необходимо приравнять их правые части:

$\sqrt{6x^2 - 3x - 1} = \sqrt{2x - 1}$

Данное иррациональное уравнение равносильно системе, в которую входит уравнение, полученное после возведения обеих частей в квадрат, и условие неотрицательности подкоренного выражения (область допустимых значений, ОДЗ):

$$ \begin{cases} 6x^2 - 3x - 1 = 2x - 1 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$$

Сначала решим уравнение системы:

$6x^2 - 3x - 1 = 2x - 1$

$6x^2 - 3x - 2x - 1 + 1 = 0$

$6x^2 - 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(6x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$6x - 5 = 0 \implies 6x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{6}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ: $2x - 1 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge \frac{1}{2}$.

1. Проверяем корень $x_1 = 0$:
$2 \cdot 0 - 1 = -1$. Так как $-1 < 0$, условие $x \ge \frac{1}{2}$ не выполняется. Следовательно, $x=0$ — посторонний корень.

2. Проверяем корень $x_2 = \frac{5}{6}$:
$2 \cdot \frac{5}{6} - 1 = \frac{10}{6} - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$. Так как $\frac{2}{3} > 0$, условие $x \ge \frac{1}{2}$ выполняется ($\frac{5}{6} > \frac{3}{6}$). Следовательно, $x = \frac{5}{6}$ является решением.

Ответ: $\frac{5}{6}$

б) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{6x^2 + 2x - 10}$ и $y = \sqrt{x^2 - x - 2}$, приравняем их правые части:

$\sqrt{6x^2 + 2x - 10} = \sqrt{x^2 - x - 2}$

Это уравнение равносильно следующей системе:

$$ \begin{cases} 6x^2 + 2x - 10 = x^2 - x - 2 \\ x^2 - x - 2 \ge 0 \end{cases}$$

Решим первое уравнение системы:

$6x^2 + 2x - 10 - x^2 + x + 2 = 0$

$5x^2 + 3x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{-16}{10} = -\frac{8}{5}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь проверим эти корни на соответствие условию ОДЗ: $x^2 - x - 2 \ge 0$.

Сначала найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -2. Корни равны $2$ и $-1$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - x - 2 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

1. Проверяем корень $x_1 = -\frac{8}{5} = -1.6$:
Число $-1.6$ принадлежит промежутку $(-\infty; -1]$, так как $-1.6 \le -1$. Следовательно, $x_1 = -\frac{8}{5}$ является решением.

2. Проверяем корень $x_2 = 1$:
Число $1$ не принадлежит ни промежутку $(-\infty; -1]$, ни промежутку $[2; +\infty)$. Следовательно, $x_2 = 1$ — посторонний корень.

Таким образом, единственной абсциссой точки пересечения является $x = -\frac{8}{5}$. Это неправильная дробь. Выделим из нее целую часть:

$-\frac{8}{5} = -\frac{5+3}{5} = -(1 + \frac{3}{5}) = -1\frac{3}{5}$

Ответ: $-1\frac{3}{5}$