Номер 2.259, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.259. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции:

а) $y = \sqrt{x-5} + \sqrt{10-x}$ и прямой $y = 3$;

б) $y = 3\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2}$ и прямой $y = 7$.

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков, необходимо приравнять выражения для $y$: $$ \sqrt{x-5} + \sqrt{10-x} = 3 $$ Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} x-5 \ge 0 \\ 10-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 10 \end{cases} $$ Следовательно, ОДЗ: $x \in [5, 10]$.
Теперь решим уравнение. Возведем обе его части в квадрат: $$ (\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x})^2 = 3^2 $$ $$ (x-5) + 2\sqrt{(x-5)(10-x)} + (10-x) = 9 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 5 + 2\sqrt{10x - x^2 - 50 + 5x} = 9 $$ $$ 5 + 2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 9 $$ Изолируем радикал: $$ 2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 4 $$ $$ \sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 2 $$ Снова возведем обе части в квадрат: $$ -x^2 + 15x - 50 = 4 $$ $$ -x^2 + 15x - 54 = 0 $$ Умножим на -1 для удобства: $$ x^2 - 15x + 54 = 0 $$ Это квадратное уравнение. Решим его, используя теорему Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 15 \\ x_1 \cdot x_2 = 54 \end{cases} $$ Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$.
Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ. Оба корня $6$ и $9$ находятся в интервале $[5, 10]$, следовательно, являются решениями.
Ответ: 6, 9.

б) Приравняем выражения для $y$, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $$ 3\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = 7 $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 2 \end{cases} $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, \infty)$.
Для решения уравнения изолируем один из радикалов: $$ 3\sqrt{x+3} = 7 + \sqrt{x-2} $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (3\sqrt{x+3})^2 = (7 + \sqrt{x-2})^2 $$ $$ 9(x+3) = 49 + 14\sqrt{x-2} + (x-2) $$ $$ 9x + 27 = 47 + x + 14\sqrt{x-2} $$ Снова изолируем радикал: $$ 8x - 20 = 14\sqrt{x-2} $$ Разделим обе части уравнения на 2: $$ 4x - 10 = 7\sqrt{x-2} $$ Прежде чем снова возводить в квадрат, заметим, что правая часть $7\sqrt{x-2}$ неотрицательна. Следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $$ 4x - 10 \ge 0 \implies 4x \ge 10 \implies x \ge 2.5 $$ Это дополнительное условие, которое нужно будет учесть при проверке корней.
Возводим в квадрат: $$ (4x-10)^2 = (7\sqrt{x-2})^2 $$ $$ 16x^2 - 80x + 100 = 49(x-2) $$ $$ 16x^2 - 80x + 100 = 49x - 98 $$ $$ 16x^2 - 129x + 198 = 0 $$ Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-129)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 198 = 16641 - 12672 = 3969 = 63^2 $$ Найдем корни: $$ x = \frac{129 \pm \sqrt{3969}}{2 \cdot 16} = \frac{129 \pm 63}{32} $$ $$ x_1 = \frac{129+63}{32} = \frac{192}{32} = 6 $$ $$ x_2 = \frac{129-63}{32} = \frac{66}{32} = \frac{33}{16} $$ Теперь проверим корни на соответствие условию $x \ge 2.5$.
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию, так как $6 \ge 2.5$.
Корень $x_2 = \frac{33}{16} = 2\frac{1}{16}$. Так как $2\frac{1}{16} < 2.5$, этот корень является посторонним и не является решением.
Проверим единственный подходящий корень $x=6$ подстановкой в исходное уравнение: $$ 3\sqrt{6+3} - \sqrt{6-2} = 3\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 \cdot 3 - 2 = 9-2 = 7 $$ Равенство верно.
Ответ: 6.