Номер 2.266, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.266. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

а) $y = \sqrt[6]{5 - 3x}$ и $y = 2$;

б) $y = \sqrt[5]{4x - x^2}$ и $y = -2$.

а) Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков функций $y = \sqrt[6]{5-3x}$ и $y = 2$, необходимо приравнять выражения для $y$:

$\sqrt[6]{5-3x} = 2$

Так как корень имеет четную степень (6), выражение под корнем не может быть отрицательным. Это задает область допустимых значений для $x$:

$5-3x \ge 0$

$5 \ge 3x$

$x \le \frac{5}{3}$

Теперь решим само уравнение. Для этого возведем обе его части в шестую степень:

$(\sqrt[6]{5-3x})^6 = 2^6$

$5-3x = 64$

Решаем полученное линейное уравнение:

$-3x = 64 - 5$

$-3x = 59$

$x = -\frac{59}{3}$

Проверим, соответствует ли найденный корень области допустимых значений $x \le \frac{5}{3}$.

Поскольку $-\frac{59}{3} \approx -19.67$, а $\frac{5}{3} \approx 1.67$, неравенство $-\frac{59}{3} \le \frac{5}{3}$ выполняется. Следовательно, найденное значение является решением.

Представим ответ в виде смешанного числа, выделив целую часть из неправильной дроби:

$x = -\frac{59}{3} = -19\frac{2}{3}$

Ответ: $-19\frac{2}{3}$.

б) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[5]{4x-x^2}$ и $y = -2$, приравняем их правые части:

$\sqrt[5]{4x-x^2} = -2$

Так как корень имеет нечетную степень (5), подкоренное выражение может быть любым действительным числом, и никаких дополнительных ограничений на $x$ не возникает.

Возведем обе части уравнения в пятую степень:

$(\sqrt[5]{4x-x^2})^5 = (-2)^5$

$4x-x^2 = -32$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$-x^2 + 4x + 32 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$x^2 - 4x - 32 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках с абсциссами 8 и -4.

Ответ: $8; -4$.