Номер 2.269, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.269. Решите уравнение:

а) $\sqrt[3]{8x^3+x^2-9}=2x$;

б) $\sqrt[7]{9-4x-x^7}=-x$.

а) $\sqrt[3]{8x^3 + x^2 - 9} = 2x$

Для решения данного уравнения необходимо избавиться от кубического корня. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень. Так как степень нечетная, это преобразование является равносильным и не приводит к появлению посторонних корней или потере решений.

$$(\sqrt[3]{8x^3 + x^2 - 9})^3 = (2x)^3$$

Упростим полученное выражение:

$$8x^3 + x^2 - 9 = 8x^3$$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$8x^3 - 8x^3 + x^2 - 9 = 0$$

$$x^2 - 9 = 0$$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем константу в правую часть:

$$x^2 = 9$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x = \pm\sqrt{9}$$

Таким образом, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 3$

$x_2 = -3$

Ответ: -3; 3.

б) $\sqrt[7]{9 - 4x - x^7} = -x$

Для решения этого уравнения возведем обе его части в седьмую степень, чтобы избавиться от радикала. Так как степень корня (7) нечетная, данное преобразование является равносильным.

$$(\sqrt[7]{9 - 4x - x^7})^7 = (-x)^7$$

После возведения в степень получаем:

$$9 - 4x - x^7 = -x^7$$

Прибавим $x^7$ к обеим частям уравнения, чтобы упростить его:

$$9 - 4x - x^7 + x^7 = -x^7 + x^7$$

$$9 - 4x = 0$$

Получилось простое линейное уравнение. Решим его относительно $x$:

$$4x = 9$$

$$x = \frac{9}{4}$$

Представим ответ в виде смешанного числа, выделив целую часть из неправильной дроби $\frac{9}{4}$:

$$\frac{9}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}$$

Ответ: $2\frac{1}{4}$.