Номер 2.274, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.274. Решите уравнение, используя свойства функций:

а) $\sqrt{3x - 2} + \sqrt{2x + 5} = 5;$

б) $\sqrt{x + 4} + \sqrt{2x + 6} = 7;$

в) $\sqrt{3x - 5} = 3 - \sqrt{x - 2};$

г) $\sqrt{15 - x} + \sqrt{3 - x} = 6.$

Для решения данных уравнений используется свойство монотонности функций. Если левая часть уравнения представляет собой монотонно возрастающую (или убывающую) функцию, а правая часть — константа, то такое уравнение имеет не более одного корня. Этот корень, если он существует, часто можно найти методом подбора.

а) Дано уравнение: $\sqrt{3x - 2} + \sqrt{2x + 5} = 5$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ 2x + 5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x \ge 2 \\ 2x \ge -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{2}{3} \\ x \ge -2.5 \end{cases}$

Общей областью является $x \ge \frac{2}{3}$.

2. Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = \sqrt{3x - 2} + \sqrt{2x + 5}$.

Функции $y_1(x) = \sqrt{3x - 2}$ и $y_2(x) = \sqrt{2x + 5}$ являются возрастающими на ОДЗ, так как подкоренные выражения — возрастающие линейные функции. Сумма двух возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, $f(x)$ монотонно возрастает.

3. Поскольку функция $f(x)$ монотонно возрастает, уравнение $f(x) = 5$ может иметь не более одного корня. Найдем его подбором, стараясь получить целые числа под корнями.

Проверим значение $x = 2$. Оно удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge \frac{2}{3}$).

Подставляем в уравнение: $\sqrt{3 \cdot 2 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2 + 5} = \sqrt{6 - 2} + \sqrt{4 + 5} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.

Равенство $5 = 5$ верно. Следовательно, $x = 2$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $2$

б) Дано уравнение: $\sqrt{x + 4} + \sqrt{2x + 6} = 7$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ 2x + 6 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -4 \\ x \ge -3 \end{cases}$

Общей областью является $x \ge -3$.

2. Функция $f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{2x + 6}$ является суммой двух возрастающих функций, а значит, сама монотонно возрастает на ОДЗ.

3. Уравнение $f(x) = 7$ имеет не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x = 5$. Оно удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge -3$).

Подставляем в уравнение: $\sqrt{5 + 4} + \sqrt{2 \cdot 5 + 6} = \sqrt{9} + \sqrt{10 + 6} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Равенство $7 = 7$ верно. Следовательно, $x = 5$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $5$

в) Дано уравнение: $\sqrt{3x - 5} = 3 - \sqrt{x - 2}$.

1. Для удобства анализа перенесем корень в левую часть: $\sqrt{3x - 5} + \sqrt{x - 2} = 3$.

2. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ x \ge 2 \end{cases}$

Общей областью является $x \ge 2$.

3. Функция $f(x) = \sqrt{3x - 5} + \sqrt{x - 2}$ является суммой двух возрастающих функций, следовательно, она монотонно возрастает на ОДЗ.

4. Уравнение $f(x) = 3$ имеет не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x = 3$. Оно удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 2$).

Подставляем в уравнение: $\sqrt{3 \cdot 3 - 5} + \sqrt{3 - 2} = \sqrt{9 - 5} + \sqrt{1} = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$.

Равенство $3 = 3$ верно. Следовательно, $x = 3$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $3$

г) Дано уравнение: $\sqrt{15 - x} + \sqrt{3 - x} = 6$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 15 - x \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 15 \\ x \le 3 \end{cases}$

Общей областью является $x \le 3$.

2. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{15 - x} + \sqrt{3 - x}$.

Функции $y_1(x) = \sqrt{15 - x}$ и $y_2(x) = \sqrt{3 - x}$ являются убывающими на ОДЗ, так как подкоренные выражения — убывающие линейные функции ($u = kx+b$ с $k < 0$). Сумма двух убывающих функций также является убывающей функцией. Следовательно, $f(x)$ монотонно убывает.

3. Поскольку функция $f(x)$ монотонно убывает, уравнение $f(x) = 6$ может иметь не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x = -1$. Оно удовлетворяет ОДЗ ($-1 \le 3$).

Подставляем в уравнение: $\sqrt{15 - (-1)} + \sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$.

Равенство $6 = 6$ верно. Следовательно, $x = -1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $-1$