Номер 2.268, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.268. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

а) $y=\sqrt{3x^2 - 11x - 20}$ и $y=x-5$;

б) $y=\sqrt{2x^2 - x + 1}$ и $y=x+3$.

Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков функций необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение.

а) Даны функции $y = \sqrt{3x^2 - 11x - 20}$ и $y = x - 5$.

Приравниваем правые части:

$\sqrt{3x^2 - 11x - 20} = x - 5$

Данное иррациональное уравнение равносильно системе, в которой правая часть уравнения должна быть неотрицательной, а квадраты обеих частей должны быть равны:

$ \begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ 3x^2 - 11x - 20 = (x - 5)^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы, чтобы найти область допустимых значений:

$x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$

Теперь решим второе уравнение системы:

$3x^2 - 11x - 20 = x^2 - 10x + 25$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - x - 45 = 0$

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 1 + 360 = 361 = 19^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 19}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 5$.

• Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 5$.
• Корень $x_2 = -4\frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию ($ -4\frac{1}{2} < 5 $). Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: а) 5

б) Даны функции $y = \sqrt{2x^2 - x + 1}$ и $y = x + 3$.

Приравниваем правые части:

$\sqrt{2x^2 - x + 1} = x + 3$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 2x^2 - x + 1 = (x + 3)^2 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем условие: $x \ge -3$.

Решим второе уравнение системы:

$2x^2 - x + 1 = x^2 + 6x + 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 7x - 8 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 \cdot x_2 = -8$. Отсюда $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.

Проверим оба корня на соответствие условию $x \ge -3$.

• $x_1 = 8$ удовлетворяет условию ($8 \ge -3$).
• $x_2 = -1$ удовлетворяет условию ($-1 \ge -3$).

Оба корня являются решениями.

Ответ: б) 8; -1