Номер 2.275, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.275. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции $y = \sqrt{5x+1} + \sqrt{7-x}$ и прямой $y = 6.$

Для нахождения абсцисс точек пересечения необходимо приравнять выражения для $y$ и решить полученное уравнение:

$$ \sqrt{5x + 1} + \sqrt{7 - x} = 6 $$

1. Найдем Область допустимых значений (ОДЗ)

Выражения, находящиеся под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 5x + 1 \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases} $$

Решим ее:

$$ \begin{cases} 5x \ge -1 \\ -x \ge -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{1}{5} \\ x \le 7 \end{cases} $$

Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $x \in [-\frac{1}{5}, 7]$.

2. Решим иррациональное уравнение

Уединим один из корней в левой части уравнения:

$$ \sqrt{5x + 1} = 6 - \sqrt{7 - x} $$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от первого корня:

$$ (\sqrt{5x + 1})^2 = (6 - \sqrt{7 - x})^2 $$

$$ 5x + 1 = 36 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{7 - x} + (\sqrt{7 - x})^2 $$

$$ 5x + 1 = 36 - 12\sqrt{7 - x} + 7 - x $$

Приведем подобные слагаемые и снова уединим корень:

$$ 5x + 1 = 43 - x - 12\sqrt{7 - x} $$

$$ 5x + x + 1 - 43 = -12\sqrt{7 - x} $$

$$ 6x - 42 = -12\sqrt{7 - x} $$

Разделим обе части уравнения на 6:

$$ x - 7 = -2\sqrt{7 - x} $$

Для дальнейшего решения можно использовать метод замены. Пусть $t = \sqrt{7 - x}$. Тогда $t^2 = 7 - x$, а $x - 7 = -t^2$. Также, по определению арифметического корня, $t \ge 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$$ -t^2 = -2t $$

$$ t^2 - 2t = 0 $$

$$ t(t - 2) = 0 $$

Это уравнение имеет два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 2$. Оба решения удовлетворяют условию $t \ge 0$.

3. Выполним обратную замену и проверку

Найдем значения $x$ для каждого корня $t$:

• При $t = 0$:
  $\sqrt{7 - x} = 0 \implies 7 - x = 0 \implies x_1 = 7$.
• При $t = 2$:
  $\sqrt{7 - x} = 2 \implies 7 - x = 4 \implies x_2 = 3$.

Оба найденных корня ($x_1 = 7$ и $x_2 = 3$) принадлежат ОДЗ $x \in [-\frac{1}{5}, 7]$.

Выполним проверку, подставив корни в исходное уравнение:

• Проверка для $x = 7$:
  $\sqrt{5(7) + 1} + \sqrt{7 - 7} = \sqrt{35+1} + \sqrt{0} = \sqrt{36} + 0 = 6$.
  $6=6$ (Верно).
• Проверка для $x = 3$:
  $\sqrt{5(3) + 1} + \sqrt{7 - 3} = \sqrt{15+1} + \sqrt{4} = \sqrt{16} + 2 = 4 + 2 = 6$.
  $6=6$ (Верно).

Оба решения верны.

Абсциссы точек пересечения: Ответ: 3; 7.