Номер 2.272, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.272. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

$y = \sqrt{7x^2+x-2}$ и $y = \sqrt{7x-2}$;

$y = \sqrt{3x^2+4x-14}$ и $y = \sqrt{x^2-x-2}$.

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{7x^2 + x - 2}$ и $y = \sqrt{7x - 2}$, нужно приравнять выражения для $y$:

$$ \sqrt{7x^2 + x - 2} = \sqrt{7x - 2} $$

Данное иррациональное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, получаемого возведением обеих частей в квадрат, и неравенства, задающего область допустимых значений (ОДЗ). Достаточно потребовать, чтобы одно из подкоренных выражений было неотрицательным, так как из-за равенства второе автоматически станет таким же.

$$ \begin{cases} 7x^2 + x - 2 = 7x - 2 \\ 7x - 2 \ge 0 \end{cases} $$

Сначала решим уравнение:

$7x^2 + x - 2 = 7x - 2$

$7x^2 - 6x = 0$

$x(7x - 6) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{6}{7}$.

Теперь проверим эти корни на соответствие условию ОДЗ: $7x - 2 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge \frac{2}{7}$.

• Проверяем $x_1 = 0$:
  $0 \ge \frac{2}{7}$ - это неверно. Следовательно, $x = 0$ является посторонним корнем.
• Проверяем $x_2 = \frac{6}{7}$:
  $\frac{6}{7} \ge \frac{2}{7}$ - это верно. Следовательно, $x = \frac{6}{7}$ является решением.

Ответ: $\frac{6}{7}$.

б) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{3x^2 + 4x - 14}$ и $y = \sqrt{x^2 - x - 2}$, приравняем выражения для $y$:

$$ \sqrt{3x^2 + 4x - 14} = \sqrt{x^2 - x - 2} $$

Это уравнение равносильно следующей системе:

$$ \begin{cases} 3x^2 + 4x - 14 = x^2 - x - 2 \\ x^2 - x - 2 \ge 0 \end{cases} $$

Решим уравнение из системы:

$3x^2 + 4x - 14 = x^2 - x - 2$

$2x^2 + 5x - 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Теперь решим неравенство $x^2 - x - 2 \ge 0$, чтобы определить ОДЗ.

Корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ по теореме Виета равны $x=-1$ и $x=2$. График функции $f(x) = x^2 - x - 2$ — парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -1$ или $x \ge 2$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$:

• Проверяем $x_1 = -4$:
  $-4 \le -1$, это верно. Значит, $x = -4$ является решением.
• Проверяем $x_2 = 1\frac{1}{2}$:
  Значение $1\frac{1}{2}$ не удовлетворяет ни одному из условий $x \le -1$ или $x \ge 2$. Следовательно, $x = 1\frac{1}{2}$ является посторонним корнем.

Ответ: -4.