Номер 2.280, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.280. Решите неравенство $ \frac{8x+3}{16} - \frac{2x-5}{3} \ge \frac{11-7x}{12} $

Для решения данного неравенства приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным (НОК) для знаменателей 16, 3 и 12 является 48.

Найдем НОК(16, 3, 12):

• $16 = 2^4$
• $3 = 3$
• $12 = 2^2 \cdot 3$

НОК(16, 3, 12) = $2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.

Умножим обе части неравенства на 48. Так как 48 > 0, знак неравенства не меняется:

$$ 48 \cdot \left( \frac{8x+3}{16} - \frac{2x-5}{3} \right) \ge 48 \cdot \left( \frac{11-7x}{12} \right) $$

Выполним умножение, сокращая 48 с каждым знаменателем:

$$ \frac{48}{16} \cdot (8x+3) - \frac{48}{3} \cdot (2x-5) \ge \frac{48}{12} \cdot (11-7x) $$

$$ 3(8x+3) - 16(2x-5) \ge 4(11-7x) $$

Раскроем скобки:

$$ 24x + 9 - 32x + 80 \ge 44 - 28x $$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$$ (24x - 32x) + (9 + 80) \ge 44 - 28x $$

$$ -8x + 89 \ge 44 - 28x $$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть, меняя их знаки на противоположные:

$$ -8x + 28x \ge 44 - 89 $$

$$ 20x \ge -45 $$

Разделим обе части неравенства на 20. Знак неравенства при делении на положительное число сохраняется:

$$ x \ge \frac{-45}{20} $$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$$ x \ge -\frac{9}{4} $$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$$ -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} $$

Следовательно, решение неравенства:

$$ x \ge -2\frac{1}{4} $$

Ответ: $x \ge -2\frac{1}{4}$.