Номер 2.283, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.283. Сократите дробь $ \frac{x^2 - 2x - 35}{25 - x^2} $.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители, а затем сократить общие множители.

Исходная дробь:

$$ \frac{x^2 - 2x - 35}{25 - x^2} $$

1. Разложение числителя на множители.

Числитель $x^2 - 2x - 35$ является квадратным трехчленом. Чтобы разложить его на множители, найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2) = 2$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -35$

Методом подбора находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$$ x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x - (-5)) = (x - 7)(x + 5) $$

2. Разложение знаменателя на множители.

Знаменатель $25 - x^2$ представляет собой разность квадратов. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$$ 25 - x^2 = 5^2 - x^2 = (5 - x)(5 + x) $$

3. Сокращение дроби.

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$$ \frac{x^2 - 2x - 35}{25 - x^2} = \frac{(x - 7)(x + 5)}{(5 - x)(5 + x)} $$

Так как $(x + 5) = (5 + x)$, мы можем сократить этот общий множитель (при условии, что $x \neq -5$):

$$ \frac{(x - 7)\cancel{(x + 5)}}{(5 - x)\cancel{(5 + x)}} = \frac{x - 7}{5 - x} $$

4. Выделение целой части.

Полученная дробь $\frac{x - 7}{5 - x}$ является неправильной алгебраической дробью, поскольку степень многочлена в числителе (1) равна степени многочлена в знаменателе (1). Чтобы выделить целую часть, преобразуем выражение. Вынесем знак минус из знаменателя:

$$ \frac{x - 7}{5 - x} = \frac{x - 7}{-(x - 5)} = -\frac{x - 7}{x - 5} $$

Теперь представим числитель $x - 7$ в виде $(x - 5) - 2$, чтобы выделить в нем знаменатель:

$$ -\frac{(x - 5) - 2}{x - 5} = -\left( \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{2}{x - 5} \right) = -\left( 1 - \frac{2}{x - 5} \right) = -1 + \frac{2}{x - 5} $$

Таким образом, целая часть выражения равна -1, а дробная часть равна $\frac{2}{x - 5}$.

Ответ: $-1 + \frac{2}{x - 5}$