Номер 4, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Решите уравнение:

а) $ \sqrt[4]{2x+1} = 3; $

б) $ \sqrt[5]{-2x-5} = -1; $

в) $ \sqrt[6]{x^2-2x+61} = 2; $

г) $ \sqrt[3]{x^2-x-131} = -5. $

а) $\sqrt[4]{2x + 1} = 3$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо возвести обе его части в четвертую степень. Поскольку показатель корня (4) является четным числом, а правая часть уравнения положительна, данное преобразование является равносильным на области допустимых значений ($2x+1 \ge 0$).

$(\sqrt[4]{2x + 1})^4 = 3^4$

$2x + 1 = 81$

Далее решаем полученное линейное уравнение:

$2x = 81 - 1$

$2x = 80$

$x = \frac{80}{2}$

$x = 40$

Проверка: $\sqrt[4]{2 \cdot 40 + 1} = \sqrt[4]{80 + 1} = \sqrt[4]{81} = 3$. Равенство верно.

Ответ: 40

б) $\sqrt[5]{-2x - 5} = -1$

Поскольку показатель корня (5) является нечетным числом, можно без ограничений возводить обе части уравнения в пятую степень.

$(\sqrt[5]{-2x - 5})^5 = (-1)^5$

$-2x - 5 = -1$

Решаем полученное линейное уравнение:

$-2x = -1 + 5$

$-2x = 4$

$x = \frac{4}{-2}$

$x = -2$

Проверка: $\sqrt[5]{-2(-2) - 5} = \sqrt[5]{4 - 5} = \sqrt[5]{-1} = -1$. Равенство верно.

Ответ: -2

в) $\sqrt[6]{x^2 - 2x + 61} = 2$

Возведем обе части уравнения в шестую степень, так как показатель корня (6) — четное число, а правая часть положительна.

$(\sqrt[6]{x^2 - 2x + 61})^6 = 2^6$

$x^2 - 2x + 61 = 64$

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x + 61 - 64 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решаем квадратное уравнение, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 2, произведение равно -3. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

Проверка:

При $x=3$: $\sqrt[6]{3^2 - 2(3) + 61} = \sqrt[6]{9 - 6 + 61} = \sqrt[6]{64} = 2$. Верно.

При $x=-1$: $\sqrt[6]{(-1)^2 - 2(-1) + 61} = \sqrt[6]{1 + 2 + 61} = \sqrt[6]{64} = 2$. Верно.

Ответ: -1; 3

г) $\sqrt[3]{x^2 - x - 131} = -5$

Возведем обе части уравнения в третью степень, так как показатель корня (3) — нечетное число.

$(\sqrt[3]{x^2 - x - 131})^3 = (-5)^3$

$x^2 - x - 131 = -125$

Переносим все члены в одну сторону для получения квадратного уравнения:

$x^2 - x - 131 + 125 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 1, произведение равно -6. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Проверка:

При $x=3$: $\sqrt[3]{3^2 - 3 - 131} = \sqrt[3]{9 - 3 - 131} = \sqrt[3]{-125} = -5$. Верно.

При $x=-2$: $\sqrt[3]{(-2)^2 - (-2) - 131} = \sqrt[3]{4 + 2 - 131} = \sqrt[3]{-125} = -5$. Верно.

Ответ: -2; 3