Номер 8, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Найдите область определения функции:

a) $f(x) = \sqrt[8]{x^2 - 9x + 8}$;

б) $f(x) = \sqrt[4]{3 - 8x} + \frac{7}{\sqrt[5]{x + 1}};

в) $f(x) = \sqrt[8]{x + 5} - \frac{9}{\sqrt[4]{9 - 7x}};

г) $f(x) = \sqrt[10]{25 - x^2} + \sqrt[6]{x^2 - 6x + 5}$.

а) Область определения функции $f(x) = \sqrt[8]{x^2 - 9x + 8}$ находится из условия, что подкоренное выражение для корня четной степени должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$x^2 - 9x + 8 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.
Графиком функции $y = x^2 - 9x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения при $x \le 1$ и при $x \ge 8$.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, 1] \cup [8, +\infty)$.
Ответ: $D(f) = (-\infty, 1] \cup [8, +\infty)$.

б) Область определения функции $f(x) = \sqrt[4]{3 - 8x} + \frac{7}{\sqrt[5]{x+1}}$ является пересечением областей определения двух ее слагаемых.
1. Для первого слагаемого $\sqrt[4]{3 - 8x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень четной степени:
$3 - 8x \ge 0 \implies -8x \ge -3 \implies x \le \frac{3}{8}$
2. Для второго слагаемого $\frac{7}{\sqrt[5]{x+1}}$ знаменатель не должен быть равен нулю. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому ограничение накладывается только на знаменатель в целом:
$\sqrt[5]{x+1} \neq 0 \implies x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$
Объединяя оба условия, получаем область определения: $x \le \frac{3}{8}$ и $x \neq -1$.
Ответ: $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, \frac{3}{8}]$.

в) Область определения функции $f(x) = \sqrt[8]{x+5} - \frac{9}{\sqrt[4]{9-7x}}$ определяется следующими условиями:
1. Для $\sqrt[8]{x+5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$
2. Для дроби $\frac{9}{\sqrt[4]{9-7x}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень четной степени и находится в знаменателе):
$9 - 7x > 0 \implies -7x > -9 \implies x < \frac{9}{7}$
Найдем пересечение полученных условий: $x \ge -5$ и $x < \frac{9}{7}$. Это соответствует интервалу $[-5, \frac{9}{7})$.
Ответ: $D(f) = [-5, 1\frac{2}{7})$.

г) Область определения функции $f(x) = \sqrt[10]{25 - x^2} + \sqrt[6]{x^2 - 6x + 5}$ находится из системы неравенств, так как оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 25 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - 6x + 5 \ge 0 \end{cases}$
1. Решим первое неравенство:
$25 - x^2 \ge 0 \implies (5-x)(5+x) \ge 0$.
Решением является отрезок $x \in [-5, 5]$.
2. Решим второе неравенство:
$x^2 - 6x + 5 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ равны $x_1=1$ и $x_2=5$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:
$[-5, 5] \cap ((-\infty, 1] \cup [5, +\infty))$.
Пересечением является объединение отрезка $[-5, 1]$ и точки $\{5\}$.
Ответ: $D(f) = [-5, 1] \cup \{5\}$.