Номер 7, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Упростите выражение:

a) $(0.8\sqrt[4]{x} + 2\sqrt{y})^2 - (0.8\sqrt[4]{x} - 2\sqrt{y})^2;$

б) $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y}) + 4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}.$

a) Чтобы упростить выражение $(0,8\sqrt[4]{x} + 2\sqrt{y})^2 - (0,8\sqrt[4]{x} - 2\sqrt{y})^2$, мы можем использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 0,8\sqrt[4]{x} + 2\sqrt{y}$ и $b = 0,8\sqrt[4]{x} - 2\sqrt{y}$.

Найдем разность $(a-b)$ и сумму $(a+b)$:

$a - b = (0,8\sqrt[4]{x} + 2\sqrt{y}) - (0,8\sqrt[4]{x} - 2\sqrt{y}) = 0,8\sqrt[4]{x} + 2\sqrt{y} - 0,8\sqrt[4]{x} + 2\sqrt{y} = 4\sqrt{y}$

$a + b = (0,8\sqrt[4]{x} + 2\sqrt{y}) + (0,8\sqrt[4]{x} - 2\sqrt{y}) = 1,6\sqrt[4]{x}$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(a - b)(a + b) = (4\sqrt{y}) \cdot (1,6\sqrt[4]{x}) = 6,4\sqrt[4]{x}\sqrt{y}$

Представим десятичную дробь $6,4$ в виде смешанного числа. Сначала запишем ее как обыкновенную дробь: $6,4 = \frac{64}{10} = \frac{32}{5}$.

Далее выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{32}{5}$. Для этого разделим $32$ на $5$: $32 \div 5 = 6$ (остаток $2$). Таким образом, $\frac{32}{5} = 6\frac{2}{5}$.

Ответ: $6\frac{2}{5}\sqrt[4]{x}\sqrt{y}$

б) Упростим выражение $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y}) + 4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$.

Выполним упрощение по частям.

1. Упростим первую часть $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y})$. Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=\sqrt[4]{x}$ и $b=2\sqrt[4]{y}$.

$(\sqrt[4]{x})^2 - (2\sqrt[4]{y})^2 = x^{\frac{2}{4}} - 2^2 \cdot y^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} - 4y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} - 4\sqrt{y}$

2. Упростим вторую часть $4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$. При делении корней с одинаковым показателем используется свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3} = 4 \cdot \frac{\sqrt[8]{y^7}}{\sqrt[8]{y^3}} = 4\sqrt[8]{\frac{y^7}{y^3}} = 4\sqrt[8]{y^{7-3}} = 4\sqrt[8]{y^4}$

Упростим полученный корень: $4\sqrt[8]{y^4} = 4y^{\frac{4}{8}} = 4y^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{y}$

3. Теперь сложим результаты обеих частей:

$(\sqrt{x} - 4\sqrt{y}) + 4\sqrt{y} = \sqrt{x} - 4\sqrt{y} + 4\sqrt{y} = \sqrt{x}$

Ответ: $\sqrt{x}$