Номер 1, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Среди данных выражений выберите выражения, имеющие смысл:

a) $ \sqrt[8]{2} $;

б) $ \sqrt[6]{-11} $;

в) $ \sqrt[5]{7} $;

г) $ \sqrt[3]{-5} $;

д) $ \sqrt[10]{0} $;

е) $ \sqrt[9]{-1} $.

Для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение вида $\sqrt[n]{a}$ (корень n-й степени из числа a) в множестве действительных чисел, необходимо проанализировать показатель корня $n$ и подкоренное выражение $a$.

• Если показатель корня $n$ является четным натуральным числом (например, 2, 4, 6, ...), то подкоренное выражение $a$ должно быть неотрицательным, то есть $a \ge 0$.
• Если показатель корня $n$ является нечетным натуральным числом (например, 3, 5, 7, ...), то подкоренное выражение $a$ может быть любым действительным числом (положительным, отрицательным или нулем).

Рассмотрим каждое из данных выражений, применяя эти правила.

а) $\sqrt[8]{2}$
Здесь показатель корня $n=8$ — четное число. Подкоренное выражение $a=2$ — положительное число. Поскольку $2 \ge 0$, условие для корня четной степени выполняется.
Ответ: выражение имеет смысл.

б) $\sqrt[6]{-11}$
Здесь показатель корня $n=6$ — четное число. Подкоренное выражение $a=-11$ — отрицательное число. Для корня четной степени подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Ответ: выражение не имеет смысла.

в) $\sqrt[5]{7}$
Здесь показатель корня $n=5$ — нечетное число. Для корня нечетной степени подкоренное выражение может быть любым действительным числом, поэтому данное выражение определено.
Ответ: выражение имеет смысл.

г) $\sqrt[3]{-5}$
Здесь показатель корня $n=3$ — нечетное число. Подкоренное выражение $a=-5$ — отрицательное, что допустимо для корней нечетной степени.
Ответ: выражение имеет смысл.

д) $\sqrt[10]{0}$
Здесь показатель корня $n=10$ — четное число. Подкоренное выражение $a=0$. Условие $a \ge 0$ выполняется.
Ответ: выражение имеет смысл.

e) $\sqrt[9]{-1}$
Здесь показатель корня $n=9$ — нечетное число. Подкоренное выражение $a=-1$ — отрицательное, что допустимо для корней нечетной степени.
Ответ: выражение имеет смысл.

Таким образом, выражения, которые имеют смысл: а), в), г), д), е).