Номер 5, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Сравните числа:

a) $\sqrt{5}$ и $\sqrt[3]{10}$;

б) $\sqrt[10]{29}$ и $\sqrt[5]{3\sqrt{3}}$;

в) $\sqrt[3]{\sqrt{2}}$ и $\sqrt[5]{\sqrt{3}}$.

а) $\sqrt{5}$ и $\sqrt[3]{10}$

Чтобы сравнить эти два числа, необходимо привести корни к общему показателю. Показатели корней равны 2 и 3. Наименьшее общее кратное (НОК) для 2 и 3 равно 6.

Приведем оба корня к показателю 6, используя тождество $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$.

Для первого числа: $\sqrt{5} = \sqrt[2]{5^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{5^3} = \sqrt[6]{125}$.

Для второго числа: $\sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{10^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{10^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{10^2} = \sqrt[6]{100}$.

Теперь нужно сравнить $\sqrt[6]{125}$ и $\sqrt[6]{100}$. Поскольку показатели корней одинаковы, а функция $y=\sqrt[6]{x}$ является возрастающей для $x>0$, достаточно сравнить подкоренные выражения.

Так как $125 > 100$, то и $\sqrt[6]{125} > \sqrt[6]{100}$.

Следовательно, $\sqrt{5} > \sqrt[3]{10}$.

Ответ: $\sqrt{5} > \sqrt[3]{10}$.

б) $\sqrt[10]{29}$ и $\sqrt[5]{3\sqrt{3}}$

Для сравнения приведем оба числа к корню с одинаковым показателем.

Первое число уже представлено в виде корня 10-й степени: $\sqrt[10]{29}$.

Преобразуем второе число. Сначала внесем множитель 3 под внутренний корень:

$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

Теперь выражение принимает вид $\sqrt[5]{\sqrt{27}}$. По свойству корня из корня $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, получаем:

$\sqrt[5]{\sqrt{27}} = \sqrt[5 \cdot 2]{27} = \sqrt[10]{27}$.

Теперь сравним $\sqrt[10]{29}$ и $\sqrt[10]{27}$.

Поскольку показатели корней одинаковы, а функция $y=\sqrt[10]{x}$ является возрастающей, достаточно сравнить подкоренные выражения. Так как $29 > 27$, то и $\sqrt[10]{29} > \sqrt[10]{27}$.

Следовательно, $\sqrt[10]{29} > \sqrt[5]{3\sqrt{3}}$.

Ответ: $\sqrt[10]{29} > \sqrt[5]{3\sqrt{3}}$.

в) $\sqrt{\sqrt[3]{2}}$ и $\sqrt[5]{\sqrt{3}}$

Сначала упростим оба выражения, используя свойство корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.

Первое число: $\sqrt{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[2 \cdot 3]{2} = \sqrt[6]{2}$.

Второе число: $\sqrt[5]{\sqrt{3}} = \sqrt[5 \cdot 2]{3} = \sqrt[10]{3}$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $\sqrt[6]{2}$ и $\sqrt[10]{3}$. Приведем их к общему показателю. НОК(6, 10) = 30.

Приводим первый корень к показателю 30: $\sqrt[6]{2} = \sqrt[6 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[30]{32}$.

Приводим второй корень к показателю 30: $\sqrt[10]{3} = \sqrt[10 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[30]{27}$.

Сравниваем $\sqrt[30]{32}$ и $\sqrt[30]{27}$. Поскольку показатели корней одинаковы, а функция $y=\sqrt[30]{x}$ является возрастающей, достаточно сравнить подкоренные выражения.

Так как $32 > 27$, то $\sqrt[30]{32} > \sqrt[30]{27}$.

Следовательно, $\sqrt[6]{2} > \sqrt[10]{3}$, а значит и $\sqrt{\sqrt[3]{2}} > \sqrt[5]{\sqrt{3}}$.

Ответ: $\sqrt{\sqrt[3]{2}} > \sqrt[5]{\sqrt{3}}$.