Номер 9, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Внесите множитель под знак корня:

a) $2a\sqrt[6]{-a}$;

б) $-m\sqrt[5]{m^3}$;

в) $-y\sqrt[6]{-y^7}$;

г) $(y-2)\sqrt[4]{4-2y}$.

a) Чтобы внести множитель $2a$ под знак корня шестой степени в выражении $2a\sqrt[6]{-a}$, необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-a \ge 0 \implies a \le 0$.

Поскольку $a \le 0$, множитель $2a$ является неположительным ($2a \le 0$). При внесении отрицательного или нулевого множителя под знак корня четной степени, знак "минус" оставляется перед корнем, а под корень вносится модуль множителя, возведенный в степень корня.

$2a\sqrt[6]{-a} = -(-2a)\sqrt[6]{-a}$

Так как $-2a \ge 0$, мы можем внести его под знак корня:

$-\sqrt[6]{(-2a)^6 \cdot (-a)} = -\sqrt[6]{64a^6 \cdot (-a)} = -\sqrt[6]{-64a^{6+1}} = -\sqrt[6]{-64a^7}$

Ответ: $-\sqrt[6]{-64a^7}$

б) В выражении $-m^5\sqrt[5]{m^3}$ корень пятой степени, то есть нечетной. Для нечетных корней множитель можно вносить под знак корня без ограничений, сохраняя его знак.

$-m^5\sqrt[5]{m^3} = \sqrt[5]{(-m^5)^5 \cdot m^3}$

Упростим выражение под корнем:

$\sqrt[5]{-m^{5 \cdot 5} \cdot m^3} = \sqrt[5]{-m^{25} \cdot m^3} = \sqrt[5]{-m^{25+3}} = \sqrt[5]{-m^{28}}$

Ответ: $\sqrt[5]{-m^{28}}$

в) В выражении $-y\sqrt[6]{-y^7}$ корень шестой степени, то есть четной. Определим ОДЗ:

$-y^7 \ge 0 \implies y^7 \le 0 \implies y \le 0$.

Множитель, который нужно внести, равен $-y$. Поскольку $y \le 0$, то $-y \ge 0$. Так как множитель неотрицательный, мы можем внести его под знак корня, возведя в степень корня.

$-y\sqrt[6]{-y^7} = \sqrt[6]{(-y)^6 \cdot (-y^7)}$

Упростим выражение под корнем:

$\sqrt[6]{y^6 \cdot (-y^7)} = \sqrt[6]{-y^{6+7}} = \sqrt[6]{-y^{13}}$

Ответ: $\sqrt[6]{-y^{13}}$

г) В выражении $(y-2)\sqrt[4]{4-2y}$ корень четвертой степени, то есть четной. Определим ОДЗ:

$4-2y \ge 0 \implies 4 \ge 2y \implies y \le 2$.

Множитель, который нужно внести, равен $(y-2)$. Исходя из ОДЗ ($y \le 2$), этот множитель является неположительным ($(y-2) \le 0$).

Применяем правило для внесения отрицательного множителя под корень четной степени: оставляем "минус" перед корнем и вносим множитель с противоположным знаком.

$(y-2)\sqrt[4]{4-2y} = -(-(y-2))\sqrt[4]{4-2y} = -(2-y)\sqrt[4]{4-2y}$

Теперь вносим неотрицательный множитель $(2-y)$ под корень:

$-\sqrt[4]{(2-y)^4 \cdot (4-2y)}$

Упростим выражение под корнем, заметив, что $4-2y = 2(2-y)$:

$-\sqrt[4]{(2-y)^4 \cdot 2(2-y)} = -\sqrt[4]{2(2-y)^{4+1}} = -\sqrt[4]{2(2-y)^5}$

Ответ: $-\sqrt[4]{2(2-y)^5}$