Номер 2, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке 124:

а) $y = x^3$;

б) $y = \sqrt[3]{x}$;

в) $y = 3x$;

г) $y = \frac{3}{x}$.

Рис. 124

Для того чтобы определить, график какой функции изображен на рисунке, необходимо проанализировать его ключевые особенности и проверить, какая из предложенных функций им соответствует. На графике можно выделить следующие контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$, $(-1, -1)$, $(-8, -2)$.

а) $y = x^3$. Это кубическая парабола. Она проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, но если подставить $x=8$, то получим $y = 8^3 = 512$. На графике же точке с абсциссой $x=8$ соответствует ордината $y=2$. Следовательно, эта функция не подходит. Ответ: неверно.

б) $y = \sqrt[3]{x}$. Это функция кубического корня. Проверим, принадлежат ли графику этой функции контрольные точки:

• При $x = 0$, $y = \sqrt[3]{0} = 0$. Точка $(0, 0)$ подходит.
• При $x = 1$, $y = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ подходит.
• При $x = 8$, $y = \sqrt[3]{8} = 2$. Точка $(8, 2)$ подходит.
• При $x = -1$, $y = \sqrt[3]{-1} = -1$. Точка $(-1, -1)$ подходит.
• При $x = -8$, $y = \sqrt[3]{-8} = -2$. Точка $(-8, -2)$ подходит.

Все контрольные точки удовлетворяют уравнению. Внешний вид графика (симметрия относительно начала координат, возрастание на всей числовой оси, вертикальная касательная в точке (0,0)) также полностью соответствует функции кубического корня. Ответ: верно.

в) $y = 3x$. Это линейная функция, графиком которой является прямая линия. На рисунке изображена кривая. Ответ: неверно.

г) $y = \frac{3}{x}$. Это обратная пропорциональность, график которой — гипербола. Эта функция не определена в точке $x=0$ (деление на ноль), поэтому ее график не может проходить через начало координат. График на рисунке проходит через точку $(0, 0)$. Ответ: неверно.

Таким образом, проанализировав все варианты, мы приходим к выводу, что график на рисунке 124 соответствует функции б) $y = \sqrt[3]{x}$.