Номер 2.264, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.264*. Решите уравнение $(x - 3)(x - 2) - 4\sqrt{x^2 - 5x + 1} = 10$.

Для решения уравнения $(x-3)(x-2) - 4\sqrt{x^2-5x+1} = 10$ выполним следующие шаги.

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(x-3)(x-2) = x^2 - 2x - 3x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$(x^2 - 5x + 6) - 4\sqrt{x^2-5x+1} = 10$.

2. Заметим, что выражение в скобках и подкоренное выражение имеют общую часть. Преобразуем уравнение, чтобы сделать замену переменной очевидной:

$x^2 - 5x + 6 = (x^2 - 5x + 1) + 5$.

Уравнение принимает вид:

$(x^2 - 5x + 1) + 5 - 4\sqrt{x^2-5x+1} = 10$.

3. Введем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2-5x+1}$. По определению арифметического квадратного корня, должно выполняться условие $t \ge 0$. Также, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2-5x+1 \ge 0$.

С учетом замены, $t^2 = x^2-5x+1$. Уравнение сводится к квадратному относительно $t$:

$t^2 + 5 - 4t = 10$

$t^2 - 4t - 5 = 0$.

4. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а их произведение равно $-5$. Корни уравнения:

$t_1 = 5$, $t_2 = -1$.

5. Проверим корни с учетом условия $t \ge 0$. Корень $t_1 = 5$ подходит. Корень $t_2 = -1$ является посторонним, так как $t$ не может быть отрицательным.

Таким образом, единственное решение для $t$ это $t=5$.

6. Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2-5x+1} = 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2-5x+1 = 25$

$x^2-5x-24 = 0$.

7. Решим итоговое квадратное уравнение для $x$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Проверять найденные корни на соответствие области допустимых значений $x^2-5x+1 \ge 0$ не требуется, так как мы решали уравнение $\sqrt{x^2-5x+1} = 5$, из которого следует, что $x^2-5x+1=25$, а $25 \ge 0$. Оба корня являются решениями.

Ответ: -3; 8.