Номер 2.208, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.208. Найдите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:

а) 2 и $\sqrt[3]{129}$;

б) $\sqrt[5]{-37}$ и $\sqrt[6]{71}$.

a) 2 и $\sqrt[3]{129}$

Чтобы найти все целые числа, расположенные между 2 и $\sqrt[3]{129}$, нам нужно сначала оценить значение $\sqrt[3]{129}$.

Найдем ближайшие к числу 129 кубы целых чисел:

• $5^3 = 125$
• $6^3 = 216$

Так как $125 < 129 < 216$, то мы можем записать неравенство для корней: $\sqrt[3]{125} < \sqrt[3]{129} < \sqrt[3]{216}$

Отсюда следует, что $5 < \sqrt[3]{129} < 6$.

Теперь нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют условию $2 < x < \sqrt[3]{129}$. Поскольку $\sqrt[3]{129}$ — это число, которое больше 5, но меньше 6, то искомые целые числа — это те, что больше 2 и меньше 6 (включая 5).

Целые числа, попадающие в этот интервал: 3, 4, 5.

Ответ: 3, 4, 5.

б) $\sqrt[5]{-37}$ и $\sqrt[6]{71}$

Чтобы найти все целые числа, расположенные между $\sqrt[5]{-37}$ и $\sqrt[6]{71}$, оценим значения этих двух чисел.

1. Оценим $\sqrt[5]{-37}$.
По свойству корня нечетной степени: $\sqrt[5]{-37} = -\sqrt[5]{37}$. Найдем ближайшие к числу 37 пятые степени целых чисел:

• $2^5 = 32$
• $3^5 = 243$

Так как $32 < 37 < 243$, то $\sqrt[5]{32} < \sqrt[5]{37} < \sqrt[5]{243}$, что означает $2 < \sqrt[5]{37} < 3$. Следовательно, умножив на -1 и поменяв знаки неравенства, получаем: $-3 < -\sqrt[5]{37} < -2$. Таким образом, число $\sqrt[5]{-37}$ находится на координатной прямой между -3 и -2.

2. Оценим $\sqrt[6]{71}$.
Найдем ближайшие к числу 71 шестые степени целых чисел:

• $2^6 = 64$
• $3^6 = 729$

Так как $64 < 71 < 729$, то $\sqrt[6]{64} < \sqrt[6]{71} < \sqrt[6]{729}$, что означает $2 < \sqrt[6]{71} < 3$. Таким образом, число $\sqrt[6]{71}$ находится на координатной прямой между 2 и 3.

Нам нужно найти все целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $\sqrt[5]{-37} < x < \sqrt[6]{71}$. Учитывая наши оценки, мы ищем целые числа, которые больше числа, лежащего между -3 и -2, и меньше числа, лежащего между 2 и 3.

Целые числа, попадающие в этот интервал: -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.