Номер 2.206, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

а) Сравнить $\sqrt[3]{2,3}$ и $\sqrt[3]{2,9}$.

Показатели корней одинаковы и равны $n=3$. Так как функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ является монотонно возрастающей, сравним подкоренные выражения: $2,3$ и $2,9$.

Поскольку $2,3 < 2,9$, то и $\sqrt[3]{2,3} < \sqrt[3]{2,9}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2,3} < \sqrt[3]{2,9}$.

б) Сравнить $\sqrt[7]{-17}$ и $\sqrt[7]{-13}$.

Показатели корней одинаковы и равны $n=7$ (нечетное число). Функция $f(x) = \sqrt[7]{x}$ монотонно возрастает на всей числовой прямой. Сравним подкоренные выражения: $-17$ и $-13$.

Поскольку $-17 < -13$, то и $\sqrt[7]{-17} < \sqrt[7]{-13}$.

Ответ: $\sqrt[7]{-17} < \sqrt[7]{-13}$.

в) Сравнить $3$ и $\sqrt[4]{79}$.

Для сравнения представим число $3$ в виде корня четвертой степени:

$3 = \sqrt[4]{3^4} = \sqrt[4]{81}$.

Теперь сравним числа $\sqrt[4]{81}$ и $\sqrt[4]{79}$. Функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ монотонно возрастает для $x \ge 0$. Сравним подкоренные выражения: $81$ и $79$.

Поскольку $81 > 79$, то $\sqrt[4]{81} > \sqrt[4]{79}$, а значит $3 > \sqrt[4]{79}$.

Ответ: $3 > \sqrt[4]{79}$.

г) Сравнить $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt[6]{28}$.

Показатели корней различны ($3$ и $6$). Приведем их к общему показателю, который равен наименьшему общему кратному чисел $3$ и $6$, то есть $6$.

$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$.

Теперь сравним $\sqrt[6]{25}$ и $\sqrt[6]{28}$. Функция $f(x) = \sqrt[6]{x}$ монотонно возрастает. Сравним подкоренные выражения: $25$ и $28$.

Поскольку $25 < 28$, то $\sqrt[6]{25} < \sqrt[6]{28}$, а значит $\sqrt[3]{5} < \sqrt[6]{28}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5} < \sqrt[6]{28}$.

д) Сравнить $\sqrt[15]{65}$ и $\sqrt[5]{4}$.

Приведем корни к общему показателю, равному НОК(15, 5) = 15.

$\sqrt[5]{4} = \sqrt[5 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[15]{64}$.

Теперь сравним $\sqrt[15]{65}$ и $\sqrt[15]{64}$. Функция $f(x) = \sqrt[15]{x}$ монотонно возрастает. Сравним подкоренные выражения: $65$ и $64$.

Поскольку $65 > 64$, то $\sqrt[15]{65} > \sqrt[15]{64}$, а значит $\sqrt[15]{65} > \sqrt[5]{4}$.

Ответ: $\sqrt[15]{65} > \sqrt[5]{4}$.

е) Сравнить $2\sqrt[3]{3}$ и $3\sqrt[3]{2}$.

Чтобы сравнить эти выражения, внесем множители перед корнями под знак корня.

$2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24}$.

$3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}$.

Теперь сравним $\sqrt[3]{24}$ и $\sqrt[3]{54}$. Функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ монотонно возрастает. Сравним подкоренные выражения: $24$ и $54$.

Поскольку $24 < 54$, то $\sqrt[3]{24} < \sqrt[3]{54}$, а значит $2\sqrt[3]{3} < 3\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{3} < 3\sqrt[3]{2}$.