Номер 2.209, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.209. Сравните числа:

а) $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$;

б) $\sqrt[9]{11}$ и $\sqrt[6]{5}$;

в) $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[6]{2\sqrt{7}}>;

г) $\sqrt{3}$ и $\sqrt[3]{26}$.

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$, приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное для показателей 3 и 2 равно 6.

Приведем первый корень к показателю 6:
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$

Приведем второй корень к показателю 6:
$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[6]{25}$ и $\sqrt[6]{27}$. Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $25 < 27$.

Следовательно, $\sqrt[6]{25} < \sqrt[6]{27}$, а значит, $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt[9]{11}$ и $\sqrt[6]{5}$, приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное для показателей 9 и 6 равно 18.

Приведем первый корень к показателю 18:
$\sqrt[9]{11} = \sqrt[9 \cdot 2]{11^2} = \sqrt[18]{121}$

Приведем второй корень к показателю 18:
$\sqrt[6]{5} = \sqrt[6 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[18]{125}$

Сравниваем подкоренные выражения: $121 < 125$.

Следовательно, $\sqrt[18]{121} < \sqrt[18]{125}$, а значит, $\sqrt[9]{11} < \sqrt[6]{5}$.

Ответ: $\sqrt[9]{11} < \sqrt[6]{5}$.

в) Чтобы сравнить числа $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[6]{2\sqrt{7}}$, сначала упростим второе выражение, избавившись от вложенного корня. Для этого внесем множитель 2 под знак внутреннего корня:

$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$

Тогда второе число примет вид:
$\sqrt[6]{2\sqrt{7}} = \sqrt[6]{\sqrt{28}} = \sqrt[6 \cdot 2]{28} = \sqrt[12]{28}$

Теперь сравним $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[12]{28}$. Приведем их к общему показателю 12.

$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[12]{27}$

Сравниваем полученные выражения: $\sqrt[12]{27}$ и $\sqrt[12]{28}$. Так как $27 < 28$, то и $\sqrt[12]{27} < \sqrt[12]{28}$.

Следовательно, $\sqrt[4]{3} < \sqrt[6]{2\sqrt{7}}$.

Ответ: $\sqrt[4]{3} < \sqrt[6]{2\sqrt{7}}$.

г) Чтобы сравнить числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt[3]{\sqrt{26}}$, сначала упростим второе выражение:

$\sqrt[3]{\sqrt{26}} = \sqrt[3 \cdot 2]{26} = \sqrt[6]{26}$

Теперь сравним $\sqrt{3}$ и $\sqrt[6]{26}$. Приведем их к общему показателю 6.

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

Сравниваем полученные выражения: $\sqrt[6]{27}$ и $\sqrt[6]{26}$. Так как $27 > 26$, то и $\sqrt[6]{27} > \sqrt[6]{26}$.

Следовательно, $\sqrt{3} > \sqrt[3]{\sqrt{26}}$.

Ответ: $\sqrt{3} > \sqrt[3]{\sqrt{26}}$.