Номер 2.212, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.212. Постройте график функции:

а) $g(x) = \sqrt[4]{x}$;

б) $g(x) = -\sqrt[4]{x}$;

В) $g(x) = \sqrt[4]{x+2}$;

Г) $g(x) = \sqrt[4]{x} + 2$;

Д) $g(x) = \sqrt[4]{x-1} - 3$;

е)* $g(x) = \sqrt[4]{|x|}$.

а) Для построения графика функции $g(x) = \sqrt[4]{x}$ определим её свойства и найдем несколько ключевых точек.

• Область определения: Поскольку корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, $D(g) = [0, +\infty)$.
• Область значений: Значение корня четвертой степени из неотрицательного числа также неотрицательно: $g(x) \ge 0$. Таким образом, $E(g) = [0, +\infty)$.
• Ключевые точки:
  • При $x=0$, $g(0)=\sqrt[4]{0}=0$. Точка (0, 0).
  • При $x=1$, $g(1)=\sqrt[4]{1}=1$. Точка (1, 1).
  • При $x=16$, $g(16)=\sqrt[4]{16}=2$. Точка (16, 2).

График функции начинается в начале координат и плавно возрастает, проходя через вычисленные точки. Он представляет собой ветвь параболы, "лежащую на боку".
Ответ: График функции $g(x) = \sqrt[4]{x}$ — это базовый график степенной функции, расположенный в первой координатной четверти, выходящий из начала координат.

б) График функции $g(x) = -\sqrt[4]{x}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ путем преобразования.

• Преобразование: Знак "минус" перед функцией означает симметричное отражение графика относительно оси абсцисс (оси OX).
• Область определения: Остается такой же, как у базовой функции: $x \ge 0$, то есть $D(g) = [0, +\infty)$.
• Область значений: Поскольку $\sqrt[4]{x} \ge 0$, то $-\sqrt[4]{x} \le 0$. Таким образом, $E(g) = (-\infty, 0]$.
• Ключевые точки:
  • При $x=0$, $g(0)=-\sqrt[4]{0}=0$. Точка (0, 0).
  • При $x=1$, $g(1)=-\sqrt[4]{1}=-1$. Точка (1, -1).
  • При $x=16$, $g(16)=-\sqrt[4]{16}=-2$. Точка (16, -2).

График начинается в начале координат и уходит вниз в четвертую координатную четверть.
Ответ: График функции получается путем симметричного отражения графика $y = \sqrt[4]{x}$ относительно оси OX.

в) График функции $g(x) = \sqrt[4]{x+2}$ получается из графика базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ с помощью сдвига.

• Преобразование: Прибавление константы к аргументу ($x+2$) вызывает горизонтальный сдвиг графика. График сдвигается на 2 единицы влево вдоль оси OX.
• Область определения: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. Таким образом, $D(g) = [-2, +\infty)$.
• Область значений: Остается такой же, как у базовой функции: $g(x) \ge 0$. Таким образом, $E(g) = [0, +\infty)$.
• Ключевые точки: Начальная точка графика смещается из (0,0) в (-2,0).
  • При $x=-2$, $g(-2)=\sqrt[4]{-2+2}=0$. Точка (-2, 0).
  • При $x=-1$, $g(-1)=\sqrt[4]{-1+2}=\sqrt[4]{1}=1$. Точка (-1, 1).
  • При $x=14$, $g(14)=\sqrt[4]{14+2}=\sqrt[4]{16}=2$. Точка (14, 2).

График имеет ту же форму, что и $y=\sqrt[4]{x}$, но начинается в точке (-2, 0).
Ответ: График функции получается сдвигом графика $y = \sqrt[4]{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси OX.

г) График функции $g(x) = \sqrt[4]{x} + 2$ получается из графика базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ с помощью сдвига.

• Преобразование: Прибавление константы к самой функции ($\sqrt[4]{x} + 2$) вызывает вертикальный сдвиг графика. График сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси OY.
• Область определения: Остается такой же, как у базовой функции: $x \ge 0$, то есть $D(g) = [0, +\infty)$.
• Область значений: Поскольку $\sqrt[4]{x} \ge 0$, то $\sqrt[4]{x} + 2 \ge 2$. Таким образом, $E(g) = [2, +\infty)$.
• Ключевые точки: Начальная точка графика смещается из (0,0) в (0,2).
  • При $x=0$, $g(0)=\sqrt[4]{0}+2=2$. Точка (0, 2).
  • При $x=1$, $g(1)=\sqrt[4]{1}+2=3$. Точка (1, 3).
  • При $x=16$, $g(16)=\sqrt[4]{16}+2=4$. Точка (16, 4).

График имеет ту же форму, что и $y=\sqrt[4]{x}$, но начинается в точке (0, 2).
Ответ: График функции получается сдвигом графика $y = \sqrt[4]{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

д) График функции $g(x) = \sqrt[4]{x-1} - 3$ получается из графика базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ с помощью двух сдвигов.

• Преобразования:
  1. Вычитание 1 из аргумента ($x-1$) сдвигает график на 1 единицу вправо вдоль оси OX.
  2. Вычитание 3 из функции ($\dots - 3$) сдвигает график на 3 единицы вниз вдоль оси OY.
• Область определения: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Таким образом, $D(g) = [1, +\infty)$.
• Область значений: Поскольку $\sqrt[4]{x-1} \ge 0$, то $\sqrt[4]{x-1} - 3 \ge -3$. Таким образом, $E(g) = [-3, +\infty)$.
• Ключевые точки: Начальная точка графика смещается из (0,0) в (1,-3).
  • При $x=1$, $g(1)=\sqrt[4]{1-1}-3=-3$. Точка (1, -3).
  • При $x=2$, $g(2)=\sqrt[4]{2-1}-3 = 1-3 = -2$. Точка (2, -2).
  • При $x=17$, $g(17)=\sqrt[4]{17-1}-3 = \sqrt[4]{16}-3 = 2-3 = -1$. Точка (17, -1).

График имеет ту же форму, что и $y=\sqrt[4]{x}$, но начинается в точке (1, -3).
Ответ: График функции получается сдвигом графика $y = \sqrt[4]{x}$ на 1 единицу вправо и на 3 единицы вниз.

е)* Для построения графика функции $g(x) = \sqrt[4]{|x|}$ рассмотрим ее свойства.

• Свойства модуля: Функция $g(x)$ является четной, так как $g(-x) = \sqrt[4]{|-x|} = \sqrt[4]{|x|} = g(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Построение:
  1. Для $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция совпадает с базовой: $g(x) = \sqrt[4]{x}$. Строим эту часть графика в первой координатной четверти.
  2. Для $x < 0$, используем свойство четности. Отражаем уже построенную часть графика симметрично относительно оси OY. Полученная кривая будет графиком функции $y = \sqrt[4]{-x}$ для $x < 0$.
• Область определения: Подкоренное выражение $|x|$ всегда неотрицательно, поэтому функция определена для любых действительных $x$. $D(g) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: $g(x) = \sqrt[4]{|x|} \ge 0$. Таким образом, $E(g) = [0, +\infty)$.
• Ключевые точки:
  • При $x=0$, $g(0)=\sqrt[4]{|0|}=0$. Точка (0, 0).
  • При $x=1$, $g(1)=\sqrt[4]{|1|}=1$. Точка (1, 1).
  • При $x=-1$, $g(-1)=\sqrt[4]{|-1|}=1$. Точка (-1, 1).
  • При $x=16$, $g(16)=\sqrt[4]{|16|}=2$. Точка (16, 2).
  • При $x=-16$, $g(-16)=\sqrt[4]{|-16|}=2$. Точка (-16, 2).

График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY и выходящих из начала координат.
Ответ: График функции получается построением графика $y=\sqrt[4]{x}$ для $x \ge 0$ и его симметричным отражением относительно оси OY.