Номер 2.214, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.214. Выберите прямые, которые пересекает график функции $h(x) = \sqrt[6]{x}$:

a) $y = 3x$;

б) $y = -x + 2$;

в) $y = 2x + 5$;

г) $y = -4x - 3$.

Для того чтобы определить, пересекает ли прямая график функции $h(x) = \sqrt[6]{x}$, необходимо выяснить, имеет ли уравнение, полученное приравниванием выражений для функции и прямой, действительные решения в области определения функции $h(x)$. Область определения функции $h(x) = \sqrt[6]{x}$ — это все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$.

а) $y = 3x$
Чтобы найти точки пересечения, решим уравнение $\sqrt[6]{x} = 3x$ при $x \ge 0$.
Один из корней очевиден: $x_1 = 0$, так как $\sqrt[6]{0} = 0$ и $3 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
Для поиска других решений предположим, что $x > 0$. Сделаем замену $t = \sqrt[6]{x}$. Так как $x > 0$, то $t > 0$, и $x = t^6$.
Уравнение принимает вид:$t = 3t^6$
Поскольку $t > 0$, мы можем разделить обе части на $t$:$1 = 3t^5$
$t^5 = \frac{1}{3}$
$t = \sqrt[5]{\frac{1}{3}}$
Это положительный корень, значит, есть второе решение. Вернемся к переменной $x$:$x_2 = t^6 = \left(\sqrt[5]{\frac{1}{3}}\right)^6 = \left(\frac{1}{3^{1/5}}\right)^6 = \frac{1}{3^{6/5}}$. Так как уравнение имеет два действительных корня, прямая пересекает график функции.
Ответ: прямая пересекает график функции.

б) $y = -x + 2$
Решим уравнение $\sqrt[6]{x} = -x + 2$ при $x \ge 0$.
Попробуем найти решение методом подбора. Подставим $x=1$:
Левая часть: $\sqrt[6]{1} = 1$.
Правая часть: $-1 + 2 = 1$.
Так как $1=1$, то $x=1$ является решением. Точка пересечения — $(1, 1)$.
Функция $h(x) = \sqrt[6]{x}$ является строго возрастающей на всей области определения, а функция $y = -x + 2$ — строго убывающей. Строго монотонные функции разной направленности могут пересечься не более одного раза. Следовательно, прямая пересекает график функции в единственной точке.
Ответ: прямая пересекает график функции.

в) $y = 2x + 5$
Решим уравнение $\sqrt[6]{x} = 2x + 5$ при $x \ge 0$.
Рассмотрим значения, которые могут принимать функции. При $x \ge 0$ значения функции $h(x) = \sqrt[6]{x}$ неотрицательны: $h(x) \ge 0$.
При $x \ge 0$ значения прямой $y = 2x + 5$ начинаются с $y=5$ (при $x=0$) и возрастают: $y \ge 5$.
Графически, кривая $h(x)$ начинается в точке $(0, 0)$, а прямая $y=2x+5$ — в точке $(0, 5)$. Прямая изначально находится "выше" кривой. Так как степенная функция $y=\sqrt[6]{x}$ растет медленнее, чем линейная функция $y=2x+5$ (с положительным коэффициентом), их графики не пересекутся. Докажем это строго. Рассмотрим разность $f(x) = (2x + 5) - \sqrt[6]{x}$. Если эта разность всегда положительна, пересечений нет.$f(0) = 5 > 0$. Производная $f'(x) = 2 - \frac{1}{6}x^{-5/6}$. Минимальное значение функции $f(x)$ достигается при $f'(x)=0$, что происходит при $x = (1/12)^{6/5}$. Это минимальное значение положительно, так как $f(x_{min}) = 2(\frac{1}{12})^{6/5} + 5 - (\frac{1}{12})^{1/5} > 4$. Поскольку минимальное значение разности больше нуля, то $2x+5 > \sqrt[6]{x}$ для всех $x \ge 0$. Уравнение не имеет решений.
Ответ: прямая не пересекает график функции.

г) $y = -4x - 3$
Решим уравнение $\sqrt[6]{x} = -4x - 3$ при $x \ge 0$.
Для любого $x$ из области определения ($x \ge 0$), левая часть уравнения неотрицательна: $\sqrt[6]{x} \ge 0$.
Для любого $x \ge 0$, правая часть уравнения $y = -4x - 3$ всегда отрицательна. Если $x \ge 0$, то $-4x \le 0$, и, следовательно, $-4x - 3 \le -3$.
Неотрицательное число не может быть равно отрицательному. Уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, прямая не пересекает график функции.
Ответ: прямая не пересекает график функции.

Вывод: График функции $h(x)=\sqrt[6]{x}$ пересекают прямые, указанные в пунктах а) и б).