Номер 2.213, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.213. Постройте график функции:

a) $f(x) = \sqrt[3]{x}$;

б) $f(x) = -\sqrt[3]{x}$;

в) $f(x) = \sqrt[3]{x-3}$;

г) $f(x) = \sqrt[3]{x}-3$;

д) $f(x) = \sqrt[3]{x+2}+1$;

е)* $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$.

а) $f(x) = \sqrt[3]{x}$

Это основная функция кубического корня. График этой функции является базовым для построения всех последующих графиков в данном задании.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек, принадлежащих ему. Удобно выбирать значения $x$, из которых легко извлекается кубический корень.

• При $x = 0$, $f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$. Точка (0, 0).
• При $x = 1$, $f(1) = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка (1, 1).
• При $x = 8$, $f(8) = \sqrt[3]{8} = 2$. Точка (8, 2).
• При $x = -1$, $f(-1) = \sqrt[3]{-1} = -1$. Точка (-1, -1).
• При $x = -8$, $f(-8) = \sqrt[3]{-8} = -2$. Точка (-8, -2).

Функция является нечетной ($f(-x) = -f(x)$), поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Соединив точки плавной кривой, получим график функции. Он возрастает на всей числовой оси и имеет вертикальную касательную в точке (0, 0).

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат и проходящая через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

б) $f(x) = -\sqrt[3]{x}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt[3]{x}$, точка $(x_0, -y_0)$ будет лежать на графике $y = -\sqrt[3]{x}$.

Используем ключевые точки из пункта а):

• (0, 0) $\to$ (0, 0)
• (1, 1) $\to$ (1, -1)
• (8, 2) $\to$ (8, -2)
• (-1, -1) $\to$ (-1, 1)
• (-8, -2) $\to$ (-8, 2)

Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график. Функция убывает на всей числовой оси и также симметрична относительно начала координат.

Ответ: График функции $f(x) = -\sqrt[3]{x}$ получается отражением графика $y=\sqrt[3]{x}$ относительно оси Ox. Ключевые точки: (-8, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, -1), (8, -2).

в) $f(x) = \sqrt[3]{x-3}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на 3 единицы вправо.

Сдвигаем ключевые точки графика $y = \sqrt[3]{x}$ на 3 единицы вправо:

• (0, 0) $\to$ (0+3, 0) = (3, 0)
• (1, 1) $\to$ (1+3, 1) = (4, 1)
• (8, 2) $\to$ (8+3, 2) = (11, 2)
• (-1, -1) $\to$ (-1+3, -1) = (2, -1)
• (-8, -2) $\to$ (-8+3, -2) = (-5, -2)

Центр симметрии графика смещается из точки (0, 0) в точку (3, 0).

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{x-3}$ получается сдвигом графика $y=\sqrt[3]{x}$ на 3 единицы вправо. Ключевые точки: (-5, -2), (2, -1), (3, 0), (4, 1), (11, 2).

г) $f(x) = \sqrt[3]{x} - 3$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси Oy) на 3 единицы вниз.

Сдвигаем ключевые точки графика $y = \sqrt[3]{x}$ на 3 единицы вниз:

• (0, 0) $\to$ (0, 0-3) = (0, -3)
• (1, 1) $\to$ (1, 1-3) = (1, -2)
• (8, 2) $\to$ (8, 2-3) = (8, -1)
• (-1, -1) $\to$ (-1, -1-3) = (-1, -4)
• (-8, -2) $\to$ (-8, -2-3) = (-8, -5)

Центр симметрии графика смещается из точки (0, 0) в точку (0, -3).

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{x} - 3$ получается сдвигом графика $y=\sqrt[3]{x}$ на 3 единицы вниз. Ключевые точки: (-8, -5), (-1, -4), (0, -3), (1, -2), (8, -1).

д) $f(x) = \sqrt[3]{x+2} + 1$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем двух последовательных параллельных переносов:

1. Сдвиг на 2 единицы влево вдоль оси Ox (из-за $x+2$).
2. Сдвиг на 1 единицу вверх вдоль оси Oy (из-за $+1$).

Применим эти сдвиги к ключевым точкам графика $y = \sqrt[3]{x}$:

• (0, 0) $\to$ (0-2, 0+1) = (-2, 1)
• (1, 1) $\to$ (1-2, 1+1) = (-1, 2)
• (8, 2) $\to$ (8-2, 2+1) = (6, 3)
• (-1, -1) $\to$ (-1-2, -1+1) = (-3, 0)
• (-8, -2) $\to$ (-8-2, -2+1) = (-10, -1)

Центр симметрии графика смещается из точки (0, 0) в точку (-2, 1).

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{x+2} + 1$ получается сдвигом графика $y=\sqrt[3]{x}$ на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх. Ключевые точки: (-10, -1), (-3, 0), (-2, 1), (-1, 2), (6, 3).

е)* $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$

Эта функция является четной, так как $f(-x) = \sqrt[3]{|-x|} = \sqrt[3]{|x|} = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Для построения графика можно рассмотреть два случая:

1. При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $f(x) = \sqrt[3]{x}$. Таким образом, для неотрицательных $x$ график совпадает с графиком из пункта а).
2. При $x < 0$, график получается путем симметричного отражения части графика для $x \ge 0$ относительно оси Oy.

Ключевые точки:

• (0, 0)
• (1, 1) и, из-за симметрии, (-1, 1)
• (8, 2) и, из-за симметрии, (-8, 2)

В точке (0, 0) график имеет "острие" (касп). Область значений функции — $[0; +\infty)$.

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$ симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=\sqrt[3]{x}$, а для $x<0$ является его зеркальным отражением. Ключевые точки: (-8, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).