Номер 2.207, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.207. Найдите два последовательных целых числа, между которыми на координатной прямой находится число:

а) $\sqrt{2}$;

б) $\sqrt[3]{7}$;

в) $\sqrt[4]{19}$;

г) $\sqrt[3]{29}$;

д) $-\sqrt[4]{83}$;

е) $-\sqrt[3]{123}$.

а) Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми находится число $\sqrt{2}$, нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt{2} < n+1$.
Возведем все части неравенства в квадрат: $n^2 < (\sqrt{2})^2 < (n+1)^2$, что равносильно $n^2 < 2 < (n+1)^2$.
Подберем целые числа, квадраты которых близки к 2.
$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
Так как $1 < 2 < 4$, то и $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$.
Следовательно, $1 < \sqrt{2} < 2$.
Число $\sqrt{2}$ находится между целыми числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

б) Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми находится число $\sqrt[3]{7}$, ищем целое число $n$, для которого $n < \sqrt[3]{7} < n+1$.
Возведем все части неравенства в куб: $n^3 < (\sqrt[3]{7})^3 < (n+1)^3$, что равносильно $n^3 < 7 < (n+1)^3$.
Подберем целые числа, кубы которых близки к 7.
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Так как $1 < 7 < 8$, то и $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{8}$.
Следовательно, $1 < \sqrt[3]{7} < 2$.
Число $\sqrt[3]{7}$ находится между целыми числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

в) Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми находится число $\sqrt[4]{19}$, ищем целое число $n$, для которого $n < \sqrt[4]{19} < n+1$.
Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < (\sqrt[4]{19})^4 < (n+1)^4$, что равносильно $n^4 < 19 < (n+1)^4$.
Подберем целые числа, четвертые степени которых близки к 19.
$2^4 = 16$
$3^4 = 81$
Так как $16 < 19 < 81$, то и $\sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{19} < \sqrt[4]{81}$.
Следовательно, $2 < \sqrt[4]{19} < 3$.
Число $\sqrt[4]{19}$ находится между целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

г) Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми находится число $\sqrt[3]{29}$, ищем целое число $n$, для которого $n < \sqrt[3]{29} < n+1$.
Возведем все части неравенства в куб: $n^3 < (\sqrt[3]{29})^3 < (n+1)^3$, что равносильно $n^3 < 29 < (n+1)^3$.
Подберем целые числа, кубы которых близки к 29.
$3^3 = 27$
$4^3 = 64$
Так как $27 < 29 < 64$, то и $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{29} < \sqrt[3]{64}$.
Следовательно, $3 < \sqrt[3]{29} < 4$.
Число $\sqrt[3]{29}$ находится между целыми числами 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

д) Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми находится число $-\sqrt[4]{83}$, сначала оценим положительное число $\sqrt[4]{83}$. Ищем целое число $n$, для которого $n < \sqrt[4]{83} < n+1$.
Возведем неравенство в четвертую степень: $n^4 < 83 < (n+1)^4$.
Подберем целые числа:
$3^4 = 81$
$4^4 = 256$
Так как $81 < 83 < 256$, то $\sqrt[4]{81} < \sqrt[4]{83} < \sqrt[4]{256}$, откуда $3 < \sqrt[4]{83} < 4$.
Теперь умножим все части неравенства на -1. При этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $-3 > -\sqrt[4]{83} > -4$.
Запишем неравенство в порядке возрастания: $-4 < -\sqrt[4]{83} < -3$.
Число $-\sqrt[4]{83}$ находится между целыми числами -4 и -3.
Ответ: -4 и -3.

е) Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми находится число $-\sqrt[3]{123}$, сначала оценим положительное число $\sqrt[3]{123}$. Ищем целое число $n$, для которого $n < \sqrt[3]{123} < n+1$.
Возведем неравенство в куб: $n^3 < 123 < (n+1)^3$.
Подберем целые числа:
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
Так как $64 < 123 < 125$, то $\sqrt[3]{64} < \sqrt[3]{123} < \sqrt[3]{125}$, откуда $4 < \sqrt[3]{123} < 5$.
Теперь умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $-4 > -\sqrt[3]{123} > -5$.
Запишем неравенство в порядке возрастания: $-5 < -\sqrt[3]{123} < -4$.
Число $-\sqrt[3]{123}$ находится между целыми числами -5 и -4.
Ответ: -5 и -4.