Номер 2.200, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.200. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \frac{\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x-5}}$

б) $f(x) = \frac{x-2}{\sqrt[7]{10-x}} + \sqrt[6]{x+4}$

в) $f(x) = \sqrt[6]{x^2 - 3x + 2} + \sqrt[10]{4-x^2}$

г) $f(x) = \frac{\sqrt[5]{x-4}}{\sqrt[4]{x^2-49}}$

д) $f(x) = \sqrt[6]{x^2(x-1)(x+2)}$

е) $f(x) = \sqrt[4]{x^4 - 25x^2} - \sqrt{5x - x^2}$

Укажите наименьшее целое значение аргумента из области определения этой функции, если оно существует.

а) Область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt[4]{x} - 1}{\sqrt[4]{x} - 5}$ находится из системы условий: $$ \begin{cases} x \ge 0 & \text{(выражение под корнем четной степени)} \\ \sqrt[4]{x} - 5 \ne 0 & \text{(знаменатель не равен нулю)} \end{cases} $$ Из второго условия получаем $\sqrt[4]{x} \ne 5$, что равносильно $x \ne 5^4 = 625$.
Объединив условия, получаем область определения: $x \in [0, 625) \cup (625, +\infty)$.
Наименьшее целое значение аргумента из этой области — 0.
Ответ: область определения: $[0, 625) \cup (625, +\infty)$; наименьшее целое значение: 0.

б) Область определения функции $f(x) = \frac{x - 2}{\sqrt[7]{10 - x}} + \sqrt[6]{x + 4}$ находится из системы условий для каждого слагаемого: $$ \begin{cases} 10 - x \ne 0 & \text{(знаменатель не равен нулю, корень нечетной степени)} \\ x + 4 \ge 0 & \text{(выражение под корнем четной степени)} \end{cases} $$ Решая систему, получаем: $x \ne 10$ и $x \ge -4$.
Область определения: $x \in [-4, 10) \cup (10, +\infty)$.
Наименьшее целое значение аргумента из этой области — -4.
Ответ: область определения: $[-4, 10) \cup (10, +\infty)$; наименьшее целое значение: -4.

в) Область определения функции $f(x) = \sqrt[6]{x^2 - 3x + 2} + \sqrt[10]{4 - x^2}$ находится из системы неравенств, так как выражения под корнями четных степеней должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 \ge 0 \\ 4 - x^2 \ge 0 \end{cases} $$ 1. Решаем $x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ — это $x_1 = 1, x_2 = 2$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.
2. Решаем $4 - x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 4$, т.е. $x \in [-2, 2]$.
Пересечение этих двух множеств $(-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$ и $[-2, 2]$ дает область определения: $[-2, 1] \cup \{2\}$.
Наименьшее целое значение аргумента из этой области — -2.
Ответ: область определения: $[-2, 1] \cup \{2\}$; наименьшее целое значение: -2.

г) Для функции $f(x) = \frac{\sqrt[5]{x} - 4}{\sqrt[4]{x^2 - 49}}$ выражение в числителе ($\sqrt[5]{x}$) определено для всех $x$. Условие накладывается знаменателем: выражение под корнем четной степени в знаменателе должно быть строго положительным. $$ x^2 - 49 > 0 $$ Решаем неравенство: $x^2 > 49$, что равносильно $|x| > 7$.
Область определения: $x \in (-\infty, -7) \cup (7, +\infty)$.
В этой области определения нет наименьшего целого значения, так как множество не ограничено снизу.
Ответ: область определения: $(-\infty, -7) \cup (7, +\infty)$; наименьшее целое значение не существует.

д) Для функции $f(x) = \sqrt[6]{x^2(x-1)(x+2)}$ выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $$ x^2(x-1)(x+2) \ge 0 $$ Так как $x^2 \ge 0$ для всех $x$, неравенство выполняется, если $x=0$ или если $(x-1)(x+2) \ge 0$.
Решая $(x-1)(x+2) \ge 0$ методом интервалов (корни -2 и 1), получаем $x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$.
Объединяя с решением $x=0$, получаем область определения: $x \in (-\infty, -2] \cup \{0\} \cup [1, +\infty)$.
В этой области определения нет наименьшего целого значения, так как она не ограничена снизу.
Ответ: область определения: $(-\infty, -2] \cup \{0\} \cup [1, +\infty)$; наименьшее целое значение не существует.

е) Область определения функции $f(x) = \sqrt[4]{x^4 - 25x^2} - \sqrt{5x - x^2}$ находится из системы неравенств: $$ \begin{cases} x^4 - 25x^2 \ge 0 \\ 5x - x^2 \ge 0 \end{cases} $$ 1. Решаем $x^4 - 25x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2(x^2 - 25) \ge 0$. Это выполняется при $x=0$ или при $x^2 - 25 \ge 0$, т.е. $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup \{0\} \cup [5, +\infty)$.
2. Решаем $5x - x^2 \ge 0 \Rightarrow x(5 - x) \ge 0$. Методом интервалов получаем $x \in [0, 5]$.
Пересечение множеств $((-\infty, -5] \cup \{0\} \cup [5, +\infty))$ и $[0, 5]$ состоит только из двух точек: $\{0, 5\}$.
Наименьшее целое значение из этой области — 0.
Ответ: область определения: $\{0, 5\}$; наименьшее целое значение: 0.