Номер 2.205, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.205. Дана функция $f(x) = \sqrt[n]{x}$. Сравните:

a) $f(6)$ и $f(11)$;

б) $f(29,18)$ и $f(31,9)$.

В условии задачи функция задана как $f(x) = \sqrt[n]{x}$, что создает неоднозначность. Будем интерпретировать эту запись как функцию двух переменных $f(x, n) = \sqrt[n]{x}$. В таком случае, запись в пункте а) $f(k)$ означает $f(k, k)$, а в пункте б) $f(a, b)$ означает $f(x=a, n=b)$.

а) $f(6)$ и $f(11)$

Согласно нашей интерпретации, необходимо сравнить $f(6, 6) = \sqrt[6]{6}$ и $f(11, 11) = \sqrt[11]{11}$. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = \sqrt[x]{x} = x^{\frac{1}{x}}$ при $x > 0$. Чтобы определить, на каком промежутке функция возрастает или убывает, найдем ее производную.

Прологарифмируем функцию: $\ln(g(x)) = \ln(x^{\frac{1}{x}}) = \frac{\ln(x)}{x}$. Теперь найдем производную от обеих частей по $x$:
$(\ln(g(x)))' = (\frac{\ln(x)}{x})'$
$\frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{(\ln(x))' \cdot x - \ln(x) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$
Отсюда $g'(x) = g(x) \cdot \frac{1 - \ln(x)}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$.

Знак производной $g'(x)$ зависит от знака выражения $(1 - \ln(x))$, так как $x^{\frac{1}{x}} > 0$ и $x^2 > 0$ для $x > 0$.

• Производная $g'(x) > 0$ (функция возрастает), когда $1 - \ln(x) > 0 \Rightarrow \ln(x) < 1 \Rightarrow x < e$.
• Производная $g'(x) < 0$ (функция убывает), когда $1 - \ln(x) < 0 \Rightarrow \ln(x) > 1 \Rightarrow x > e$.

Здесь $e \approx 2.718$ — основание натурального логарифма.
Таким образом, функция $g(x) = \sqrt[x]{x}$ убывает на промежутке $(e, +\infty)$. Поскольку оба числа $6$ и $11$ принадлежат этому промежутку ($11 > 6 > e$), то для них выполняется неравенство $g(11) < g(6)$.
Следовательно, $\sqrt[11]{11} < \sqrt[6]{6}$.
Ответ: $f(6) > f(11)$.

б) $f(29,18)$ и $f(31,9)$

Здесь нам нужно сравнить числа $f(29,18) = \sqrt[18]{29}$ и $f(31,9) = \sqrt[9]{31}$. Чтобы сравнить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 18 и 9 равно 18.

Первое число уже имеет показатель 18: $\sqrt[18]{29}$.
Преобразуем второе число, приведя его к корню 18-й степени:
$\sqrt[9]{31} = 31^{\frac{1}{9}} = 31^{\frac{2}{18}} = (31^2)^{\frac{1}{18}} = \sqrt[18]{31^2}$.

Вычислим подкоренное выражение для второго числа:
$31^2 = 961$.
Таким образом, $\sqrt[9]{31} = \sqrt[18]{961}$.

Теперь сравним $\sqrt[18]{29}$ и $\sqrt[18]{961}$. Так как функция $h(y) = \sqrt[18]{y}$ является возрастающей для $y > 0$, а $29 < 961$, то $\sqrt[18]{29} < \sqrt[18]{961}$.
Следовательно, $\sqrt[18]{29} < \sqrt[9]{31}$.
Ответ: $f(29,18) < f(31,9)$.