Номер 2.204, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.204. Верно ли, что:

а) функция $f(x) = \sqrt[6]{x}$ на промежутке $[7; +\infty)$ принимает положительные значения;

б) функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ на промежутке $[-11; -1]$ принимает отрицательные значения;

в) функция $f(x) = \sqrt[10]{x}$ на промежутке $[0; 7]$ принимает только положительные значения;

г) функция $f(x) = \sqrt[7]{x}$ принимает отрицательные значения при любых $x < 0$?

а) функция $f(x) = \sqrt[6]{x}$ на промежутке $[7; +\infty)$ принимает положительные значения;
Функция $f(x) = \sqrt[n]{x}$ с четным показателем корня $n$ (в данном случае $n=6$) определена для всех неотрицательных значений $x$, то есть при $x \ge 0$. Значением такого корня (арифметического корня) является неотрицательное число. На промежутке $[7; +\infty)$ все значения $x$ строго положительны ($x \ge 7$). Корень четной степени из строго положительного числа всегда является строго положительным числом. Например, $f(64) = \sqrt[6]{64} = 2$, что является положительным числом. Таким образом, на указанном промежутке функция принимает только положительные значения. Утверждение верно.
Ответ: Да.

б) функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ на промежутке $[-11; -1]$ принимает отрицательные значения;
Функция $f(x) = \sqrt[n]{x}$ с нечетным показателем корня $n$ (в данном случае $n=3$) определена для всех действительных чисел $x$. Знак значения функции совпадает со знаком подкоренного выражения. На промежутке $[-11; -1]$ все значения $x$ являются отрицательными. Корень нечетной степени из отрицательного числа всегда является отрицательным числом. Например, $f(-8) = \sqrt[3]{-8} = -2$, что является отрицательным числом. Следовательно, на всем указанном промежутке функция принимает отрицательные значения. Утверждение верно.
Ответ: Да.

в) функция $f(x) = \sqrt[10]{x}$ на промежутке $[0; 7]$ принимает только положительные значения;
Функция $f(x) = \sqrt[10]{x}$ является корнем четной степени, поэтому ее значения всегда неотрицательны ($f(x) \ge 0$). Утверждается, что на промежутке $[0; 7]$ функция принимает *только* положительные значения. Однако в этот промежуток входит точка $x=0$. Найдем значение функции в этой точке: $f(0) = \sqrt[10]{0} = 0$. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Поскольку функция на данном промежутке принимает значение 0, утверждение о том, что она принимает *только* положительные значения, является ложным.
Ответ: Нет.

г) функция $f(x) = \sqrt[7]{x}$ принимает отрицательные значения при любых $x < 0$?
Функция $f(x) = \sqrt[7]{x}$ является корнем нечетной степени. Как и в пункте (б), знак значения функции совпадает со знаком подкоренного выражения. Если $x$ — любое отрицательное число ($x < 0$), то и значение $\sqrt[7]{x}$ будет отрицательным. Например, если $x = -a$ (где $a > 0$), то $\sqrt[7]{x} = \sqrt[7]{-a} = -\sqrt[7]{a}$, что является отрицательным числом. Это верно для любого $x < 0$. Утверждение верно.
Ответ: Да.