Номер 2.179, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.179. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{2}{\sqrt[3]{2}};

б) $\frac{6}{\sqrt[3]{9}};

в) $\frac{16}{\sqrt[4]{2}};

г) $\frac{21}{\sqrt[3]{7}}.$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы знаменатель стал рациональным числом. В данных задачах мы имеем дело со знаменателями вида $\sqrt[n]{a^m}$. Чтобы избавиться от корня, нужно домножить дробь на $\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{n-m}}}$, так как $\sqrt[n]{a^m} \cdot \sqrt[n]{a^{n-m}} = \sqrt[n]{a^n} = a$.

а) $\frac{2}{\sqrt[3]{2}}$

Знаменатель дроби равен $\sqrt[3]{2}$, что можно записать как $\sqrt[3]{2^1}$. Чтобы в знаменателе получилось целое число, нужно домножить числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{2^{3-1}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

$$ \frac{2}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{2\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{2\sqrt[3]{4}}{2} $$

Сократим дробь на 2:

$$ \frac{2\sqrt[3]{4}}{2} = \sqrt[3]{4} $$

Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

б) $\frac{6}{\sqrt[3]{9}}$

Представим знаменатель в виде корня из степени простого числа: $\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2}$. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{3^{3-2}} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3]{3}$.

$$ \frac{6}{\sqrt[3]{9}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{6\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{6\sqrt[3]{3}}{3} $$

Сократим коэффициент $\frac{6}{3}$, выделив целую часть 2:

$$ \frac{6\sqrt[3]{3}}{3} = 2\sqrt[3]{3} $$

Ответ: $2\sqrt[3]{3}$.

в) $\frac{16}{\sqrt[4]{2}}$

Знаменатель дроби равен $\sqrt[4]{2}$, или $\sqrt[4]{2^1}$. Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[4]{2^{4-1}} = \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4]{8}$.

$$ \frac{16}{\sqrt[4]{2}} = \frac{16 \cdot \sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}} = \frac{16\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{16\sqrt[4]{8}}{2} $$

Сократим коэффициент $\frac{16}{2}$, выделив целую часть 8:

$$ \frac{16\sqrt[4]{8}}{2} = 8\sqrt[4]{8} $$

Ответ: $8\sqrt[4]{8}$.

г) $\frac{21}{\sqrt[3]{7}}$

Знаменатель дроби равен $\sqrt[3]{7}$, или $\sqrt[3]{7^1}$. Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{7^{3-1}} = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$.

$$ \frac{21}{\sqrt[3]{7}} = \frac{21 \cdot \sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{49}} = \frac{21\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{343}} = \frac{21\sqrt[3]{49}}{7} $$

Сократим коэффициент $\frac{21}{7}$, выделив целую часть 3:

$$ \frac{21\sqrt[3]{49}}{7} = 3\sqrt[3]{49} $$

Ответ: $3\sqrt[3]{49}$.