Номер 2.22, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.22. Найдите значение выражения:

а) $0{,}6\sqrt[4]{10000} - 3\sqrt[7]{-128} + 4 \cdot (-\sqrt[8]{6})^8$;

б) $(-2\sqrt[3]{-5})^3 - \sqrt[12]{10^{12}} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[3]{8}\right)^3$.

а) Для нахождения значения выражения $0,6\sqrt[4]{10000} - 3\sqrt[7]{-128} + 4 \cdot (-\sqrt[8]{6})^8$ вычислим каждое слагаемое по отдельности:

1. Найдем значение первого слагаемого $0,6\sqrt[4]{10000}$.
   Корень четвертой степени из $10000$ равен $10$, так как $10^4 = 10000$.
   Следовательно: $0,6 \cdot \sqrt[4]{10000} = 0,6 \cdot 10 = 6$.
2. Найдем значение второго слагаемого $-3\sqrt[7]{-128}$.
   Корень седьмой степени (нечетной) из отрицательного числа $-128$ существует и равен $-2$, так как $(-2)^7 = -128$.
   Следовательно: $-3 \cdot \sqrt[7]{-128} = -3 \cdot (-2) = 6$.
3. Найдем значение третьего слагаемого $4 \cdot (-\sqrt[8]{6})^8$.
   Используя свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$ и то, что при возведении в четную степень (8) отрицательное число становится положительным, получаем:
   $(-\sqrt[8]{6})^8 = (\sqrt[8]{6})^8 = 6$.
   Следовательно: $4 \cdot 6 = 24$.
4. Теперь сложим полученные результаты:
   $6 + 6 + 24 = 36$.

Ответ: 36.

б) Для нахождения значения выражения $(-2\sqrt[3]{-5})^3 - \sqrt[12]{10^{12}} + (\frac{1}{2}\sqrt[3]{8})^3$ вычислим каждое слагаемое по отдельности:

1. Найдем значение первого слагаемого $(-2\sqrt[3]{-5})^3$.
   Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:
   $(-2\sqrt[3]{-5})^3 = (-2)^3 \cdot (\sqrt[3]{-5})^3 = (-8) \cdot (-5) = 40$.
2. Найдем значение второго слагаемого $-\sqrt[12]{10^{12}}$.
   Для корня с четным показателем (12) справедливо свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$.
   Следовательно: $-\sqrt[12]{10^{12}} = -|10| = -10$.
3. Найдем значение третьего слагаемого $(\frac{1}{2}\sqrt[3]{8})^3$.
   Сначала упростим выражение в скобках. Корень кубический из $8$ равен $2$, так как $2^3=8$.
   $(\frac{1}{2} \cdot 2)^3 = 1^3 = 1$.
   В качестве альтернативы, можно возвести в куб каждый множитель: $(\frac{1}{2})^3 \cdot (\sqrt[3]{8})^3 = \frac{1}{8} \cdot 8 = 1$.
4. Теперь объединим полученные результаты:
   $40 - 10 + 1 = 31$.

Ответ: 31.