Номер 2.19, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.19. Найдите значение выражения:

а) $(\sqrt[4]{6})^4$;

б) $(\sqrt[5]{13})^5$;

в) $(-\sqrt[8]{6})^8$;

г) $(\sqrt[7]{-2})^7$;

д) $(2\sqrt[4]{11})^4$;

е) $(-\sqrt[5]{3})^5$;

ж) $(\frac{1}{2}\sqrt[6]{5})^6$;

з) $(3\sqrt[4]{0.2})^4$.

а) Для вычисления значения выражения $(\sqrt[4]{6})^4$ используется основное свойство арифметического корня n-ой степени: $(\sqrt[n]{a})^n = a$, которое верно для любого натурального $n$ и неотрицательного $a$.
В данном случае $n=4$ и $a=6$.
Следовательно, $(\sqrt[4]{6})^4 = 6$.
Ответ: 6.

б) Для вычисления значения выражения $(\sqrt[5]{13})^5$ используется то же свойство: $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
Здесь $n=5$ и $a=13$.
Следовательно, $(\sqrt[5]{13})^5 = 13$.
Ответ: 13.

в) В выражении $(-\sqrt[8]{6})^8$ степень четная (8). При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.
$(-\sqrt[8]{6})^8 = (\sqrt[8]{6})^8$.
Используя свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$ с $n=8$ и $a=6$, получаем:
$(\sqrt[8]{6})^8 = 6$.
Ответ: 6.

г) Для выражения $(\sqrt[7]{-2})^7$ используется свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$, которое для нечетного $n$ верно для любого действительного $a$.
Здесь $n=7$ (нечетное) и $a=-2$.
Следовательно, $(\sqrt[7]{-2})^7 = -2$.
Ответ: -2.

д) Для вычисления $(2\sqrt[4]{11})^4$ используем свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$.
$(2\sqrt[4]{11})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt[4]{11})^4$.
Вычисляем каждую часть: $2^4 = 16$ и $(\sqrt[4]{11})^4 = 11$.
Результат: $16 \cdot 11 = 176$.
Ответ: 176.

е) В выражении $(-\sqrt[5]{3})^5$ степень нечетная (5). При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
$(-\sqrt[5]{3})^5 = -(\sqrt[5]{3})^5$.
Используя свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$ с $n=5$ и $a=3$, получаем:
$-(\sqrt[5]{3})^5 = -3$.
Ответ: -3.

ж) Для вычисления $(\frac{1}{2}\sqrt[6]{5})^6$ используем свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$.
$(\frac{1}{2}\sqrt[6]{5})^6 = (\frac{1}{2})^6 \cdot (\sqrt[6]{5})^6$.
Вычисляем каждую часть: $(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$ и $(\sqrt[6]{5})^6 = 5$.
Результат: $\frac{1}{64} \cdot 5 = \frac{5}{64}$. Это правильная дробь.
Ответ: $\frac{5}{64}$.

з) Для вычисления $(3\sqrt[4]{0,2})^4$ используем свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$.
$(3\sqrt[4]{0,2})^4 = 3^4 \cdot (\sqrt[4]{0,2})^4$.
Вычисляем каждую часть: $3^4 = 81$ и $(\sqrt[4]{0,2})^4 = 0,2$.
Результат: $81 \cdot 0,2 = 81 \cdot \frac{2}{10} = 81 \cdot \frac{1}{5} = \frac{81}{5}$.
Это неправильная дробь. Выделим целую часть: $\frac{81}{5} = 16\frac{1}{5}$.
Ответ: $16\frac{1}{5}$.