Номер 2.12, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.12. Найдите значение корня:

а) $\sqrt[4]{\frac{16}{625}}$;

б) $\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$;

в) $\sqrt[3]{1\frac{91}{125}}$;

г) $\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}$;

д) $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$;

е) $\sqrt[4]{3\frac{13}{81}}$;

ж) $\sqrt[3]{-5\frac{23}{64}}$;

з) $\sqrt[5]{-7\frac{19}{32}}$.

а) Для нахождения корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[4]{\frac{16}{625}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{625}}$.
Так как $2^4 = 16$ и $5^4 = 625$, то:
$\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

б) Корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом. Используем свойство $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для нечетного $n$ и свойство корня из дроби:
$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = -\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$.
Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то:
$-\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

в) Сначала преобразуем смешанное число, стоящее под знаком корня, в неправильную дробь:
$1\frac{91}{125} = \frac{1 \cdot 125 + 91}{125} = \frac{216}{125}$.
Теперь извлечем кубический корень из полученной дроби:
$\sqrt[3]{1\frac{91}{125}} = \sqrt[3]{\frac{216}{125}} = \frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{125}}$.
Так как $6^3 = 216$ и $5^3 = 125$, получаем $\frac{6}{5}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:
$\frac{6}{5} = \mathbf{1}\frac{1}{5}$.
Ответ: $1\frac{1}{5}$.

г) Преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь:
$-3\frac{3}{8} = -\frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = -\frac{27}{8}$.
Извлечем кубический корень:
$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$.
Так как $3^3 = 27$ и $2^3 = 8$, получаем $-\frac{3}{2}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$-\frac{3}{2} = \mathbf{-1}\frac{1}{2}$.
Ответ: $-1\frac{1}{2}$.

д) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.
Теперь извлечем корень четвертой степени:
$\sqrt[4]{5\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}$.
Так как $3^4 = 81$ и $2^4 = 16$, получаем $\frac{3}{2}$.
Выделим целую часть:
$\frac{3}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$.

е) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$3\frac{13}{81} = \frac{3 \cdot 81 + 13}{81} = \frac{243 + 13}{81} = \frac{256}{81}$.
Извлечем корень четвертой степени:
$\sqrt[4]{3\frac{13}{81}} = \sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}}$.
Так как $4^4 = 256$ и $3^4 = 81$, получаем $\frac{4}{3}$.
Выделим целую часть:
$\frac{4}{3} = \mathbf{1}\frac{1}{3}$.
Ответ: $1\frac{1}{3}$.

ж) Преобразуем отрицательное смешанное число в неправильную дробь:
$-5\frac{23}{64} = -\frac{5 \cdot 64 + 23}{64} = -\frac{320 + 23}{64} = -\frac{343}{64}$.
Извлечем кубический корень:
$\sqrt[3]{-5\frac{23}{64}} = \sqrt[3]{-\frac{343}{64}} = -\sqrt[3]{\frac{343}{64}} = -\frac{\sqrt[3]{343}}{\sqrt[3]{64}}$.
Так как $7^3 = 343$ и $4^3 = 64$, получаем $-\frac{7}{4}$.
Выделим целую часть:
$-\frac{7}{4} = \mathbf{-1}\frac{3}{4}$.
Ответ: $-1\frac{3}{4}$.

з) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-7\frac{19}{32} = -\frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = -\frac{224 + 19}{32} = -\frac{243}{32}$.
Извлечем корень пятой степени:
$\sqrt[5]{-7\frac{19}{32}} = \sqrt[5]{-\frac{243}{32}} = -\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = -\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$.
Так как $3^5 = 243$ и $2^5 = 32$, получаем $-\frac{3}{2}$.
Выделим целую часть:
$-\frac{3}{2} = \mathbf{-1}\frac{1}{2}$.
Ответ: $-1\frac{1}{2}$.