Номер 2.6, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.6. С помощью определения арифметического корня $n$-й степени докажите, что:

а) $\sqrt[6]{64} = 2;$

б) $\sqrt[3]{125} = 5;$

в) $\sqrt[4]{0,0081} = 0,3;$

г) $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}.$

Согласно определению, арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ (обозначается как $\sqrt[n]{a}$) называется такое неотрицательное число $b$, для которого выполняется равенство $b^n = a$.

Чтобы доказать предложенные в задаче равенства, необходимо для каждого из них проверить два условия:

1. Число, стоящее в правой части равенства (значение корня), должно быть неотрицательным.
2. Это число, возведенное в степень $n$ (показатель корня), должно равняться подкоренному числу $a$.

а) Требуется доказать, что $\sqrt[6]{64} = 2$.
Проверим условия:
1. Число $2$ является неотрицательным ($2 > 0$).
2. Возведем $2$ в степень $6$: $2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.
Оба условия выполнены, следовательно, равенство верно.
Ответ: 2

б) Требуется доказать, что $\sqrt[3]{125} = 5$.
Проверим условия:
1. Число $5$ является неотрицательным ($5 > 0$).
2. Возведем $5$ в степень $3$: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Оба условия выполнены, следовательно, равенство верно.
Ответ: 5

в) Требуется доказать, что $\sqrt[4]{0,0081} = 0,3$.
Проверим условия:
1. Число $0,3$ является неотрицательным ($0,3 > 0$).
2. Возведем $0,3$ в степень $4$: $0,3^4 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,09 = 0,0081$.
Оба условия выполнены, следовательно, равенство верно.
Ответ: 0,3

г) Требуется доказать, что $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$.
Проверим условия:
1. Число $\frac{2}{3}$ является неотрицательным ($\frac{2}{3} > 0$).
2. Возведем $\frac{2}{3}$ в степень $5$: $(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$.
Оба условия выполнены, следовательно, равенство верно.
Ответ: $\frac{2}{3}$