Номер 2.10, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.10. Решите уравнение:

а) $x^8 - 12 = 0;$ б) $x^4 + 16 = 0;$

в) $x^5 - 29 = 0;$ г) $x^9 + 13 = 0.$

Корни каких из данных уравнений являются рациональными числами?

а) Решим уравнение $x^8 - 12 = 0$.
Перенесем 12 в правую часть уравнения:
$x^8 = 12$
Поскольку показатель степени (8) — четное число, а правая часть (12) — положительное число, уравнение имеет два действительных корня. Извлечем корень 8-й степени из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt[8]{12}$
Ответ: $x_1 = \sqrt[8]{12}$, $x_2 = -\sqrt[8]{12}$.

б) Решим уравнение $x^4 + 16 = 0$.
Перенесем 16 в правую часть уравнения:
$x^4 = -16$
Четвертая степень (как и любая другая четная степень) любого действительного числа не может быть отрицательной. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

в) Решим уравнение $x^5 - 29 = 0$.
Перенесем 29 в правую часть уравнения:
$x^5 = 29$
Поскольку показатель степени (5) — нечетное число, уравнение имеет один действительный корень. Извлечем корень 5-й степени из обеих частей:
$x = \sqrt[5]{29}$
Ответ: $x = \sqrt[5]{29}$.

г) Решим уравнение $x^9 + 13 = 0$.
Перенесем 13 в правую часть уравнения:
$x^9 = -13$
Поскольку показатель степени (9) — нечетное число, уравнение имеет один действительный корень. Извлечем корень 9-й степени из обеих частей:
$x = \sqrt[9]{-13} = -\sqrt[9]{13}$
Ответ: $x = -\sqrt[9]{13}$.

Корни каких из данных уравнений являются рациональными числами?
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Корень $\sqrt[n]{k}$ (где $k$ - целое) является рациональным числом только в том случае, если число $k$ является точной $n$-й степенью какого-либо целого числа. Проанализируем действительные корни каждого уравнения:

• а) Корни $x = \pm\sqrt[8]{12}$. Число 12 не является 8-й степенью какого-либо целого числа ($1^8=1, 2^8=256$). Следовательно, корни иррациональны.
• б) Уравнение не имеет действительных корней, а значит и рациональных корней.
• в) Корень $x = \sqrt[5]{29}$. Число 29 является простым и не является 5-й степенью какого-либо целого числа ($1^5=1, 2^5=32$). Следовательно, корень иррационален.
• г) Корень $x = -\sqrt[9]{13}$. Число 13 является простым и не является 9-й степенью какого-либо целого числа ($1^9=1, 2^9=512$). Следовательно, корень иррационален.

Ответ: Ни одно из данных уравнений не имеет рациональных корней.