Номер 2.9, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.9. Выберите уравнения, имеющие два корня:

а) $x^4 = 81$;

б) $x^5 = 32$;

в) $x^6 = 10$;

г) $x^8 = 0$;

д) $x^{10} = -1$;

е) $x^7 = -5$.

Найдите корни этих уравнений.

Для того чтобы выбрать уравнения, имеющие два корня, и найти эти корни, необходимо проанализировать каждое уравнение вида $x^n=a$ на количество действительных корней.

Общее правило для определения количества корней:

• Если показатель степени $n$ — четное число:
  • при $a > 0$ уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt[n]{a}$;
  • при $a = 0$ уравнение имеет один корень: $x = 0$;
  • при $a < 0$ уравнение не имеет действительных корней.
• Если показатель степени $n$ — нечетное число, то при любом значении $a$ уравнение имеет один действительный корень: $x = \sqrt[n]{a}$.

Анализ заданных уравнений:

• а) $x^4 = 81$: $n=4$ (четное) и $a=81 > 0$. Следовательно, уравнение имеет два корня.
• б) $x^5 = 32$: $n=5$ (нечетное). Следовательно, уравнение имеет один корень.
• в) $x^6 = 10$: $n=6$ (четное) и $a=10 > 0$. Следовательно, уравнение имеет два корня.
• г) $x^8 = 0$: $n=8$ (четное) и $a=0$. Следовательно, уравнение имеет один корень.
• д) $x^{10} = -1$: $n=10$ (четное) и $a=-1 < 0$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
• е) $x^7 = -5$: $n=7$ (нечетное). Следовательно, уравнение имеет один корень.

Таким образом, два корня имеют уравнения под буквами а) и в). Ниже представлено их развернутое решение.

а) Для уравнения $x^4 = 81$, где показатель степени четный, а правая часть положительна, находим два корня:
$x = \pm\sqrt[4]{81}$
Поскольку $3^4 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Ответ: $3; -3$.

в) Для уравнения $x^6 = 10$, где показатель степени четный, а правая часть положительна, находим два корня:
$x = \pm\sqrt[6]{10}$
Эти корни являются иррациональными, так как 10 не является точной шестой степенью рационального числа.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \sqrt[6]{10}$ и $x_2 = -\sqrt[6]{10}$.
Ответ: $\sqrt[6]{10}; -\sqrt[6]{10}$.